検定の評価

設定された検定を評価する方法を考える. その際検出力関数\(\beta(\theta)\)を使って評価を行う. \(\Theta_0\)を帰無仮説\(H_0\)の母数の集合,\(\Theta_1=\Theta_0^c\)を対立仮説\(H_1\)の母数の集合とすると, 検出力関数の定義から, \[ \alpha = \beta(\theta \in \Theta_0), \beta = 1 - \beta(\theta \in \Theta_0^c) \] と第一種の誤りと第二種の誤りとなる. \[ \sup_{\theta \in \Theta_0} \beta(\theta) = \alpha \] は検定の大きさ(the size of a test)と言い,帰無仮説\(H_0\)に属する母数から計算される第一種の誤りの確率の上限となる.

有意水準\(\alpha\)の検定(test at the significance level \(\alpha\))とは, \[ \sup_{\theta \in \Theta_0} \beta(\theta) = \sup_{\theta \in \Theta_0} P(X \in R:\theta) \leq \alpha \] となるように,棄却域\(R\)を設定した検定である.

2つの検定手法\(T_1\)と\(T_2\)に対して,それぞれ検出力関数を\(\beta_1(\theta),\beta_2(\theta)\)とする. 以下を満たす時,\(T_1\)は\(T_2\)より強力という.

  1. \(\forall \theta \in \Theta_0\)に対して,\(\beta_1(\theta) \leq \alpha,\beta_2(\theta) \leq \alpha\)である.
  2. \(\forall \theta \in \Theta_0^c\)に対して,\(\beta_1(\theta) \geq \beta_2(\theta)\)であり,少なくとも1点で不等式が成り立つ.

では,有意水準\(\alpha\)の検定内で,もっとも強力な検定を探すことを考える.

最強力検定

有意水準\(\alpha\)の検定の全体を\(\mathcal{T} _{\alpha}\)と表す. この時検定\(T \in \mathcal{T} _{\alpha}\)が一様最強力検定とは

  1. \(\beta _T (\theta)\)を\(T\)の検出力関数とすると,\(\forall \theta \in \Theta_0\)に対して,\(\; \beta _T (\theta) < \alpha \).
  2. \(\forall S \in \mathcal{T} _{\alpha}\)の検出力関数\(\beta _{S}(\theta)\)とすると,すべての\(\theta \in \Theta ^{c} _{0}\)に対して,\(\beta _{T}(\theta) \geq \beta _{S}(\theta)\).