測度空間の性質

空間\((X,\mathcal{X})\)は以下の性質を持つ.ここでは,\(\mathcal{X}\)を可測であるが完全加法族と制約しない.

有限加法性

\(i,n \in \mathbb{N},\;\{X_i\}_{0 \leq i \leq n} \subset \mathcal{X}\)としたとき, \[ m(\bigcup^{n} _{i=0} X_i) = m(\coprod^{n} _{i=0} X_i) = \sum^{n} _{i=0} m(X_i) \tag{m.3} \]

証明
\(X_n = \emptyset, n > i \)としたとき, \[ \bigcup^{\infty} _{i=0} X_i = \left(\bigcup^{n} _{i=0} X_i\right) \cup \left( \bigcup^{\infty} _{i = n} \emptyset \right) = \coprod^{n} _{i=0} X_i \] 可算加法性より \[ m(\bigcup^{n} _{i=0} X_i) = \sum^{n} _{i=0} m(X_i) \]

単調性

\[ X_1,X_2 \in \mathcal{X}かつ X_1 \subset X_2 なら, m(X_1) \leq m(X_2) \]

証明
\(X_1 \subset X_2\)なら, \[ X_2 = (X_2 \backslash X_1) \cup X_1 \] 有限加法性より, \[ \begin{align} m(X_2) &= m((X_2 \backslash X_1) \cup X_1) \\ &= m(X_2 \backslash X_1) + m(X_1) \geq m(X_1) \end{align} \]

劣加法性

\(\forall i \in \mathbb{N},\; X_i \in \mathcal{X}\)としたとき, \[ m(\bigcup^{\infty}_{i=0}X_i) \leq \sum^{\infty} _{i=0} m(X_i) \tag{m.3} \]

証明 \[ Y_0 = X_0,\;Y_i = X_i \backslash (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k),\;i\geq1 \] のように,\(Y_i\)を構成する.\(i \not= j\)なら,\(Y_i \cap Y_j = \emptyset\) \[ \forall n \in \mathbb{N}, Y_i \subset X_i, \bigcup^{n} _{i=0} Y_i = \bigcup^{n} _{i=0} X_i \] なぜならば,\(\bigcup^{n} _{i=0} Y_i = \bigcup^{n} _{i=0} X_i\)に関して,\(n=0\)のときは自明,
\(n=1\)のとき \[ \begin{align} \bigcup^{1} _{i=0} Y_i &= \left( X_1 \backslash (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k) \right) \cup X_0 \\ &= (X_1 \cap X_0^c) \cup X_0 = X_1 \cup X_0 = \bigcup^{1} _{i=0} X_i\\ \end{align} \] \(n=k\)のとき \[ \begin{align} \bigcup^{k} _{i=0} Y_i &= \bigcup^{k} _{i=0} X_i \\ \end{align} \] と仮定する. \(n=k+1\)のとき, \[ \begin{align} \bigcup^{k+1} _{i=0} Y_i &= Y _{k+1} \cup \left( \bigcup^{k} _{i=0} Y_i \right) \\ &= X _{k+1} \backslash (\bigcup^{k} _{i=0} X_i) \cup \left( \bigcup^{k} _{i=0} X_i \backslash (\bigcup^{i-1} _{j=0} X_j) \right) \\ &= \left( X _{k+1} \cap (\bigcup^{k} _{i=0} X_i)^c \right) \cup (\bigcup^{k} _{i=0} X_i) \\ &= \bigcup^{k+1} _{i=0} X_i \end{align} \] となり,\(n=k+1\)で成立するので,任意の\(n\)で成立する.\(Y_i \subset X_i\)から,単調性により, \[ m(\bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i) = m(\bigcup^{\infty} _{i=0} Y_i) = \sum^{\infty} _{i=0} m(Y_i) \leq \sum^{\infty} _{i=0} m(X_i) \]

上方連続性

\(\forall i \in \mathbb{N},\; X_i \in \mathcal{X}, X_i \subset X_{i+1}\)としたとき, \[ \lim_{i \to \infty} m(X_i) = m(\bigcup^{\infty} _{i=1} X_i) \tag{m.4} \]

証明 \[ Y_0 = X_0,\;Y_i = X_i \backslash (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k),\;i\geq1 \] のように,\(Y_i\)を構成する.\(i \not= j\)なら,\(Y_i \cap Y_j = \emptyset\). 有限加法性より, \[ \begin{align} m(\bigcup^{n} _{i=0} Y_i) &= \sum^{n} _{i=0} m(Y _i) \\ &= m(Y_0) + \sum^{n} _{i=1} m(Y _i) \\ &= m(Y_0) + \sum^{n} _{i=1} m(X _i \backslash (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k)) \\ &= m(Y_0) + \sum^{n} _{i=1} m(X _i \cap (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k)^c) \end{align} \]

\(X_i \subset X_{i+1}\)であるので,

\[ \begin{align} m(Y_0) + \sum^{n} _{i=1} m(X_i \cap (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k)^c) &= m(Y_0) + \sum^{n} _{i=1} m(X _i \cap {X _{i-1}}^c) \\ &= m(X_0) + \sum^{n} _{i=1} \{ m(X _i) - m({X _{i-1}}) \} = m(X_n) \end{align} \]

\(\bigcup^{n} _{i=0} Y_i = \bigcup^{n} _{i=0} X_i\)なので,

\[ m(\bigcup^{n} _{i=0} Y_i) = m(\bigcup^{n} _{i=0} X_i) = m(X_n) \]

から\(n \to \infty\)としても,\( \lim_{n \to \infty} m(X_n) = m(\bigcup^{\infty} _{i=1} X_i)\)が成立する.

下方連続性

\(\forall i \in \mathbb{N},\; X_i \in \mathcal{X}, X_i \supset X_{i+1}, m(X_i) < \infty\)としたとき, \[ \lim_{i \to \infty} m(X_i) = m(\bigcap^{\infty} _{i=1} X_i) \tag{m.4} \]

証明
\[ Y_0 = X_0,\;Y_i = (\bigcup^{i-1} _{k=0} X_k) \backslash X_i,\;i\geq 1 \]

のように,\(Y_i\)を構成する.\(i \not= j\)なら,\(Y_i \cap Y_j = \emptyset\).

まず, \[ X_0 = \left( X_0 \cap \left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right)^c \right) \cup \left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right) \] から, \[ \begin{align} m(X_0) &= m\left(\left( X_0 \cap \left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right)^c \right) \cup \left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right)\right) \\ &= m\left( X_0 \cap \left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right)^c \right) + m\left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right) \end{align} \]

\( X_i \supset X_{i+1} \)なので,\(Y_i = X_0 \backslash X_i\). \[ \begin{align} m\left( X_0 \cap \left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right)^c \right) + m\left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right) &= m(Y_i) + m\left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right) \\ m(X_0) &= m(Y_i) + m\left( \bigcap^{\infty} _{i=1} X_i \right) \end{align} \]

さらに,\( X_{i+1} \subset X_{i} \subset X_0 \)なので,\(Y_{i+1} = X_0 \backslash X_{i+1} \supset X_0 \backslash X_{i} = Y_{i} \) から,上方連続性より \[ \begin{align} m(\bigcup ^{\infty} _{i=0} Y _i) &= \lim _{i \to \infty} m(Y _i) \\ &= \lim _{i \to \infty} m(X_0 \backslash X_i) \\ &= m(X_0) - \lim _{i \to \infty} m(X_i) \\ m(X_0) &= m(\bigcup ^{\infty} _{i=0} Y _i) + \lim _{i \to \infty} m(X_i) \end{align} \] より,

\[ m(\bigcap^{\infty} _{i=0} X _i) = \lim _{i \to \infty} m(X_i) \]