確率変数2次元ベクトル

まず,2次元の場合を考える.2つの確率変数\(X,Y\)を用意する.  \(X=x,Y=y\)である時の確率を, \[ P(\{\omega|X(\omega)=x\} \cap \{\omega|Y(\omega)=y\}) = P(X=x,Y=y), \; x \in D_X, y \in D_Y \] とかく.2つの事象が同時に発生する確率を得ることができるので,同時確率と言う.

同時累積分布関数

1次元の時と同様に, \[ F_{X,Y}(x,y) := P(X \leq x, Y \leq y) = P(\{\omega|X(\omega)\leq x\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq y\}) \] を累積分布関数として定義する.2つの事象が同時に発生す分布となるので,同時累積分布関数という. 任意の関数\(F(x,y)\)が同時累積分布関数になるための必要十分条件は, \(x,x_1,x_2,y,y_1,y_2 \in \overline{\mathbb{R}}\)に対して,以下の3つの条件が成立することである.

  1. \(\lim_{x \to -\infty} F(x,y) = 0, \; \lim_{y \to -\infty} F(x,y) = 0, \; \lim_{x \to \infty,y \to \infty} F(x,y) = 1\)
  2. \( \forall x_1, \forall x_2, x_1 < x_2,\forall y_1, \forall y_2, y_1 < y_2 \to F(x_1,y_1) \leq F(x_2,y_2) \)
  3. \(\lim_{x \to a+0,y \to b+0} F(x,y) = F(a,b) \)

上の定義より, \[ \begin{align} P(a < X \leq b, c < Y \leq d) &= P(\{\omega|X(\omega)\leq b\}\backslash\{\omega| X(\omega) \leq a\} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}\backslash\{\omega|Y(\omega) \leq c\}) \\ =& P((\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega| X(\omega) \leq a\}^c) \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c\}^c)) \\ =& P((\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c\}^c)) \cap \\ &(\{\omega|X(\omega) \leq a \}^c \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c \}^c))) \\ =& P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c\}^c)) + \\ & P(\{\omega| X(\omega) \leq a \}^c \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c\}^c)) - \\ & P((\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c \}^c)) \cup \\ &(\{\omega|X(\omega) \leq a\}^c \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c \}^c))) \\ =& P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c \}^c)) + \\ & P(\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c \}^c) - P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega|Y(\omega) \leq c\}^c)) - \\ & P(\{\omega|X(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c\}^c) \\ =& P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega|c \leq Y(\omega)\}^c)) - P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap (\{\omega|Y(\omega)\leq d\}\cap\{\omega| Y(\omega) \leq c \}^c)) \\ =& P((\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) \cap (\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq c\}^c)) - \\ & P((\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) \cap (\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq c\}^c)) \\ =& P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) + P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq c\}^c) - \\ & P((\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) \cup (\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq c\}^c)) - \\ & P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) - P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq c \}^c) + \\ & P((\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) \cup (\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq c\}^c)) \\ =& P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) + P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega | Y(\omega) \leq c\}^c) - \\ & P((\{\omega|X(\omega)\leq b\}) - \\ & P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) - P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega| Y(\omega) \leq c\}^c) + \\ & P((\{\omega| X(\omega) \leq a \}) \\ =& P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) - P(\{\omega|X(\omega)\leq b\} \cap \{\omega | Y(\omega) \leq c\}) - \\ & P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega|Y(\omega)\leq d\}) + P(\{\omega| X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega| Y(\omega) \leq c\}) + \\ =& F_{X,Y}(b,d) - F_{X,Y}(b,c) - F_{X,Y}(a,d) + F_{X,Y}(a,c) \end{align} \]

周辺累積分布関数

同時累積分布関数\(F_{X,Y}(x,y)\)を定義した時,  \(y \to \infty\)とすると, \[ \begin{align} \lim_{y \to \infty} F_{X,Y}(x,y) &= P(\{\omega|X(\omega)\leq x\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq \infty\}) \\ &= P(\{\omega|X(\omega)\leq x\} \cap \Omega) = P(\{\omega|X(\omega)\leq x\}) = F_X(x) \end{align} \] これを,\(X\)の周辺累積分布関数という.

同時確率密度関数

同時累積分布関数の\(x,y\)での変化量を得ることができると,積分することにより任意の事象に対する確率が得られる. \[ \begin{align} \frac{\partial^2 P(\{\omega|X(\omega)\leq x\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq y\})}{\partial x \partial y} &= \lim_{\Delta x \to 0} \lim_{\Delta y \to 0} \frac{P(\{\omega|X(\omega)\leq x + \Delta x\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq y + \Delta y\}) - P(\{\omega|X(\omega)\leq x\} \cap \{\omega|Y(\omega) \leq y + \Delta y\})}{\Delta x \Delta y} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \lim_{\Delta y \to 0} \frac{P(X \leq x + \Delta x, Y \leq y + \Delta y) - P(X \leq x, Y \leq y)}{\Delta x \Delta y} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \lim_{\Delta y \to 0} \frac{F_{X,Y}(x + \Delta x, y + \Delta y) - F_{X,Y}(x, y)}{\Delta x \Delta y} \\ &= \frac{\partial^2 F_{X,Y}(x, y)}{\partial x \partial y} \end{align} \] \(F_{X,Y}(x, y)\)が微分可能なら,\(\frac{\partial^2 F_{X,Y}(x, y)}{\partial x \partial y} = f_{X,Y}(x,y)\)として, \(f_{X,Y}(x,y)\)を同時確率密度関数という.

定義より, \[ P(X \leq a,Y \leq c) = F_{X,Y}(a,c) = \int^c_{-\infty} \int^a_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy \]

\[ \begin{align} P(a < X \leq b, c < Y \leq d) &= F_{X,Y}(b,d) - F_{X,Y}(b,c) - F_{X,Y}(a,d) + F_{X,Y}(a,c) \\ &= \int^d_{-\infty} \int^b_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy - \int^c_{-\infty} \int^b_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy - \int^d_{-\infty} \int^a_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy + \int^c_{-\infty} \int^a_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy \\ &= \int^d_c \int^b_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy - (\int^d_{-\infty} \int^a_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy - \int^c_{-\infty} \int^a_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy) \\ &= \int^d_c \int^b_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy - \int^d_c \int^a_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy \\ &= \int^d_c \int^b_a f_{X,Y}(x,y) dx dy x\end{align} \] \[ f_{X,Y}(x,y) \geq 0 \] \[ \int_{D_Y} \int_{D_X} f_{X,Y}(x,y) dxdy = 1 \]

周辺確率密度関数

同時確率密度関数を\(f_{X,Y}(x,y)\)と定義した時, \[ \lim_{y \to \infty} F_{X,Y}(x,y) = \int ^x _{-\infty} \int ^{\infty} _{-\infty} f _{X,Y}(x,y) dy dx = F_X(x) = \int ^x _{-\infty} f _{X}(x) dx \] から, \[ \int ^{\infty} _{-\infty} f _{X,Y}(x,y) dy = f _{X}(x) \] これを\(X\)の周辺確率密度関数という.