Levyの収束定理
Levyの連続性定理とも言う.
Levyの収束定理
確率変数列\(\{X _n \} _{n \in \mathbb{N} _+} \)を用意して, 分布関数列\(\{F _{X _n}\} _{n \in \mathbb{N} _+} \)に対応する特性関数列を \( \{ \varphi _{X _n} \} _{n \in \mathbb{N} _+} \)とする.
\[ \varphi _{X _n}(t) = E[e^{itX_n}] = \int^{\infty} _{-\infty} e^{itx} dF _{X _n}(x) =\int^{\infty} _{-\infty} e^{itx} f _{X _n}(x) dx \]
- 確率変数\(X _n\)の分布収束の先が確率変数\(X\)であるとき,確率変数\(X\)に対応する特性関数を\(\varphi\)とすると, \[ X _n \xrightarrow{d} X \Rightarrow \varphi _{X _n}(t) \to \varphi(t). (n \to \infty, t \in \mathbb{R}) \]
- \(\varphi: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C} \)が存在して,\(\forall t \in \mathbb{R}, \varphi_n(t) \to \varphi(t)\;(n \to \infty)\)で, \(t=0\)近傍で一様収束するなら,\(\varphi\)を確率変数\(X\)の特性関数とし, \[ \varphi _{X _n}(t) \to \varphi(t). (n \to \infty) \Rightarrow X _n \xrightarrow{d} X \]
- 証明
- \(g(x) = e^{itx}\)は有界連続関数なので,Portmanteau定理により, \[ X _n \xrightarrow{d} X \Rightarrow E[e^{itX_n}]] \to E[e^{itX}]] \; (n \to \infty) \] なので,題意は成立.
- 難しい...