集合論

集合の定義

数学で扱う対象の集まりを集合といい,その集合を構成する対象を元,要素と言う.集合\( A \)に要素\( a \)が属するとき, \[ a \in A \] と表す.
集合\( A \)に要素\( a \)が属さないときは, \[ a \notin A \] と表す. 何も要素を持たない集合を空集合といい,\( \emptyset \)で表す. \[ \forall a \notin \emptyset \]

集合の演算

集合の等しさ

冪集合

とある集合の部分集合をすべて集めた集合を冪集合いう,集合\(A\)の冪集合を\(\mathfrak{P}(A)\)と表記する.\(2^A\)とも表記する.

写像・関数

写像・関数

2つの集合の\(X,Y\)の要素\( \forall x \in X, \forall y \in Y \)において,\(x\)に\(y\)を唯一つ対応させる写像(関数)\(f\)を \[ f: X \mapsto Y \] で定義する.\(X\)を定義域,\(Y\)を値域という. \[ y = f(x) \] と書いたとき,\(y\)を\(f\)による\(x\)の値という. \(A \subset X, B \subset Y\)のとき \[ B = f(A) \] ならば,\(B\)を\(f(A)\)の像という.

グラフ

集合族

ある条件で集められた集合族を以下の様の表す. \[ \{X_i\} _{P(i)} = \{X_i|P(i)\} \]

直和

集合\(\forall i,j \in \mathbb{N},\:X_i,X_j\)対して, \(i \not= j\)のとき\(X_i \cap X_j = \emptyset\)であるばあい,\(X_i,X_j\)は互いに素という.これの集合族の和集合を直和,非交差和と言い,\(\forall I \subset \mathbb{N}\)として \[ \coprod _{i \in I} X_i := \bigcup _{i \in I} X_i \] \[ \sum _{i \in I} X_i := \bigcup _{i \in I} X_i \] などと表す,上記演算子が集合に適用されているとき,暗黙に対象の集合は互いに素である.