Fubiniの定理

  1. \(f: X _1 \times X _2 \mapsto \overline{\mathbb{R} _{+}} \)を\(\mathcal{F} _{X _1} \times \mathcal{F} _{X _2}\)可測関数とする時, \[ F_1(x _1) = \int _{X _2} f(x _1,x _2)m _2 (dx_2), F_2(x _2) = \int _{X _1} f(x _1,x _2)m _1 (dx _1) \] \(F_1(x _1),F_2(x _2)\)は,ぞれぞれ\(\mathcal{F} _{X _1}, \mathcal{F} _{X _2}\)可測で,

    \[ \begin{align} \iint _{X _1 \times X _2} f(x _1,x _2) (m _1 \times m _2)(dx_1,dx_2) &= \int _X \left(\int _Y f(x _1, x _2) m_2(dx_2)\right) m_1(dx_1) \\ &= \int _Y \left(\int _X f(x _1, x _2) m_1(dx_1)\right) m_2(dx_2) \end{align} \]

  2. \(f: X _1 \times X _2 \mapsto \overline{\mathbb{R}} \)が\(\mathcal{F} _{X _1} \times \mathcal{F} _{X _2}\)可積分ならば,\(m _1\)が\(x\)で概収束するなら,\(f(x,y)\)は\(m _2\)可積分,\(m _2\)が\(y\)で概収束するなら,\(f(x,y)\)は\(m _1\)可積分である.さらに, \[ F_1(x _1) = \int _{X _2} f(x _1,x _2)m _2 (dx_2), F_2(x _2) = \int _{X _1} f(x _1,x _2)m _1 (dx _1) \] \[ \begin{align} \iint _{X _1 \times X _2} f(x _1,x _2) (m _1 \times m _2)(dx_1,dx_2) &= \int _X \left(\int _Y f(x _1, x _2) m_2(dx_2)\right) m_1(dx_1) \\ &= \int _Y \left(\int _X f(x _1, x _2) m_1(dx_1)\right) m_2(dx_2) \end{align} \]