Borel-Cantelliの定理
\(\{A_i\} _{i \in \overline{\mathbb{N}}} \)を\((\Omega,\mathcal{F},P)\)上の事象とする.
Borel-Cantelliの定理 1
\[ \sum _{i \in \overline{\mathbb{N}}} P(A_i) < \infty \to P(\limsup _{i \to \infty} A_i) = 0 \land P(\liminf _{i \to \infty} (\Omega \backslash A_i)) = 1 \]
-
証明
\(P(\limsup _{i \to \infty} A_i) = P(\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} A_j)\)なので, \[ \begin{align} P(\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} A_j) &= \lim _{i \to \infty} P(\bigcup ^{\infty} _{j=0} A_j \cap \bigcup ^{\infty} _{j=1} A_j \cap \cdots \cap \bigcup ^{\infty} _{j=i} A_j) \\ &= \lim _{i \to \infty} P(\bigcup ^{\infty} _{j=i} A_j) \leq \lim _{i \to \infty} \sum ^{\infty} _{j=i} P(A_j) = 0 \end{align} \] より, \(P(\limsup _{i \to \infty} A_i) = 0\)
\(P(\liminf _{i \to \infty} A_i) = P(\bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} (\Omega \backslash A_i))\)なので, \[ \begin{align} P(\bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} (\Omega \backslash A_i)) &= P(\bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} {A_i}^c) \\ &= P((\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} {A_i})^c) \\ &= P(\Omega \backslash (\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} {A_i})) \\ &= P(\Omega) - P(\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} {A_i}) = 1 \end{align} \] より,\(P(\liminf _{i \to \infty} A_i) = 1\).
証明終わり.
Borel-Cantelliの定理 1は\(\sum _{i \in \overline{\mathbb{N}}} P(A_i) < \infty\)である時,
- 無限回の試行で,事象\(A_i\)が無限回発生する確率は0である.
- 無限回の試行で,事象\(A_i\)以外の事象が有限回発生する確率は1である.
ということを保証する.
Borel-Cantelliの定理 2
\(\{A_i\} _{i \in \overline{\mathbb{N}}} \)が互いに独立な事象のとき,
\[ \sum _{i \in \overline{\mathbb{N}}} P(A_i) = \infty \to P(\limsup _{i \to \infty} A_i) = 1 \land P(\liminf _{i \to \infty} (\Omega \backslash A_i)) = 0 \]
- 証明 \[ P(\liminf _{i \to \infty} (\Omega \backslash A _i)) = P(\bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} {A _j}^c) = \lim _{i \to \infty} P(\bigcap ^{\infty} _{j=i} {A _j}^c) \] ここで, \[ \begin{align} P(\bigcap ^{\infty} _{j=i} {A _i}^c) &= \lim _{k \to \infty} \prod ^{k} _{j=i} P({A _j}^c) \\ &= \prod ^{\infty} _{j=i} (1 - P(A _j)) \\ \end{align} \] \(x \in [0,1]\)のとき,\(\log(1-x) \leq -x\)から\((1-x) \leq \exp(-x)\). \[ \begin{align} \prod ^{\infty} _{j=i} (1 - P(A _j)) &\leq \prod ^{\infty} _{j=i} \exp(-P(A _j)) \\ &= \exp(-\sum ^{\infty} _{j=i} P(A _j)) = 0 \: (\because \sum _{i \in \overline{\mathbb{N}}} P(A_i) = \infty) \end{align} \] から,\(P(\bigcap ^{\infty} _{j=i} {A _i}^c) = 0\)より,\(P(\liminf _{i \to \infty} (\Omega \backslash A _i)) = 0\). \[ \begin{align} P(\limsup _{i \to \infty} A_i) &= P(((\limsup _{i \to \infty} A_i)^c)^c) \\ &= P(((\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} A_j)^c)^c) \\ &= P((\bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} {A_j}^c)^c) \\ &= P(\Omega \backslash (\bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} {A_j}^c)) \\ &= P(\Omega \backslash (\liminf _{i \to \infty} {A_j}^c)) \\ &= 1 - P(\liminf _{i \to \infty} {A_j}^c) = 1 \end{align} \] 証明終わり.
Borel-Cantelliの定理 2は事象が独立していて\(\sum _{i \in \overline{\mathbb{N}}} P(A_i) = \infty\)である時,
- 無限回の試行で,事象\(A_i\)が無限回発生する確率は1である.
- 無限回の試行で,事象\(A_i\)以外の事象が有限回発生する確率は0である.
ということを保証する.