条件付き確率密度関数
確率変数\(X\)がとる微小事象を\(dA=\{\omega| x < X(\omega) < x + dx\}\),確率変数\(Y\)がとる微小事象を\(dB=\{\omega| y < Y(\omega) < y + dy\}\)とすると, \(P(dB)=f_Y(y)dy,P(dA \cap dB)=f_{X,Y}(x,y)dxdy\)となるので, \[ P(dA|dB) = \frac{P(dA \cap dB)}{P(dB)} = \frac{f _{X,Y}(x,y) dy dx}{f _{Y}(y) dy} = \frac{f _{X,Y}(x,y) dx}{f _{Y}(y)} \] ここで,\(P(dA|dB)=dP(A|B)\)とした時, \[ P(dA|dB) = dP(A|B) = \frac{f _{X,Y}(x,y) dx}{f _{Y}(y)} \] \[ P(A|B) = \int dP(A|B) = \int _{\{\omega|\omega \in A\}} \frac{f _{X,Y}(x,y) }{f _{Y}(y)} dx \] \[ \frac{dP(A|B)}{dx} = \frac{f _{X,Y}(x,y)}{f _{Y}(y)} \] \(\frac{f _{X,Y}(x,y)}{f _{Y}(y)} = f _{X|Y}(x,y)\)と書いて,\(X\)の条件付き確率密度関数とする. \[ P(\Omega|B) = \frac{P(\Omega \cap B)}{P(B)} = 1 \] と同様, \[ \int ^{\infty} _{-\infty} f _{X|Y}(x,y) dx = \int ^{\infty} _{-\infty} \frac{f _{X,Y}(x,y)}{f _{Y} (y)} dx = \frac{f _{Y} (y)}{f _{Y} (y)} = 1 \]
条件付き期待値
同時確率密度関数 \(f_{X,Y}: X \times Y \mapsto [0,1]\), 確率変数\(Y,X\)をとる関数を \(g: Y \times X \mapsto \mathbb{R} \)と定義し, 確率変数\(X\)が事象\(A\)のときの値の場合の\(g(Y,X)\)の条件付き期待値(conditional expectation)を 以下のように定義する. \[ E[g(Y,X)|X \in A] = \int_{-\infty}^{\infty} g(y,x) f _{Y|X}(x,y) dy \] とくに,条件付き確率密度関数で表現する期待値を\(E^{Y|X}[\cdot|\cdot]\)と書く.