ポアソン分布
二項分布\(P(X:n,p) = { _n C _x } p^x (1-p)^{n-x}\)を\(np=\lambda\)として, \(n \to \infty\)とすると,
\[ \begin{align} \lim _{n \to \infty} P(X = x) &= \lim _{n \to \infty} { _n C _x } p^x (1-p)^{n-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \frac{n!}{k!(n-x)!} p^x (1-p)^{n-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \frac{n!}{k!(n-x)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \frac{n!}{k!(n-x)!} \left(\frac{\lambda^x}{n^x}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \frac{n!}{(n-x)!n^x} \left(\frac{\lambda^x}{k!}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(x-1))}{n^x} \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(x-1))}{n^x} \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \lim _{n \to \infty} \left(1 + o(n^{-1})\right) \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \end{align} \]
改めて,\(\lambda\)を母数とする以下の確率分布をポアソン分布(poisson distribution)という. \[ \mathcal{Po}(\lambda) = P(X:\lambda) = \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \] 上記の確率は,所定時間内に平均\(\lambda\)回発生する事象が,\(x\)回発生する確率に相当する.
平均
まず,\(e^{-\lambda}\)のマクローリン展開から, \[ e^{\lambda} = 1 + \frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{3!}\lambda^2 + \cdots = \sum^{\infty} _{n = 0} \frac{\lambda^n}{n!} \] より, \[ \sum ^{\infty} _{x=0} \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} = \frac{\sum ^{\infty} _{x=0} \frac{\lambda^x}{x!}}{\sum^{\infty} _{n = 0} \frac{\lambda^n}{n!} } = 1 \]
\[ \begin{align} E[X] &= \sum ^{\infty} _{x=0} x \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \\ &= \lambda \sum ^{\infty} _{x=1} \left(\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\right) e^{-\lambda} \\ &= \lambda \end{align} \]
分散
\[ \begin{align} E[X(X-1)] &= \sum ^{\infty} _{x=0} x(x-1) \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \\ &= \lambda^2 \sum ^{\infty} _{x=2} \left( \frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!} \right) e^{-\lambda} = \lambda^2 \end{align} \]
確率母関数
\[ \begin{align} G_X(t) &= E[t^X] \\ &= \sum ^{n} _{x=0} t^x \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \\ &= \sum ^{n} _{x=0} \left(\frac{(t\lambda)^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \\ &= e^{(t\lambda)}e^{-\lambda} \\ &= e^{(t-1)\lambda} \end{align} \]
積率母関数
\[ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{Xt}] \\ &= \sum ^{n} _{x=0} e^{xt} \left(\frac{\lambda^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \\ &= \sum ^{n} _{x=0} \left(\frac{(e^{t}\lambda)^x}{x!}\right) e^{-\lambda} \\ &= e^{(e^{t}\lambda)} e^{-\lambda} \\ &= e^{(e^{t}-1)\lambda} \end{align} \]
特性関数
\[ \begin{align} \varphi_X(t) &= E[e^{iXt}] \\ &= e^{(e^{it}-1)\lambda} \end{align} \]