確率母関数・積率母関数
確率関数,モーメントを生成できる関数,母関数というものを考える.
確率母関数
\[ \begin{align} G_X(t) &= E[t^X] \\ &= \int _\Omega t^{X(\omega)}P(d\omega) \\ &= \int ^{\infty} _{-\infty} t^x dP(x) \\ &= \int ^{\infty} _{-\infty} t^x f_X(x) dx \end{align} \]
性質
確率母関数は\(t\)に関して\(k\)階微分すると\(k\)次階乗モーメントを得る. \[ \left. \frac{d}{dt} G_X(t) \right| _{t=1} = \left. \frac{d}{dt} \int ^{\infty} _{-\infty} t^x f_X(x) dx \right| _{t=1} = \left. \int ^{\infty} _{-\infty} x t^{x-1} f_X(x) dx \right| _{t=1} = E[X] \\ \left. \frac{d^2}{dt^2} G_X(t) \right| _{t=1} = \left. \frac{d^2}{dt^2} \int ^{\infty} _{-\infty} t^x f_X(x) dx \right| _{t=1} = \left. \int ^{\infty} _{-\infty} x(x-1) t^{x-2} f_X(x) dx \right| _{t=1} = E[X(X-1)] \\ \left. \frac{d^k}{dt^k} G_X(t) \right| _{t=1} = \left. \frac{d^k}{dt^k} \int ^{\infty} _{-\infty} t^x f_X(x) dx \right| _{t=1} = \left. \int ^{\infty} _{-\infty} x(x-1)\cdots(x-(k-1)) t^{x-k} f_X(x) dx \right| _{t=1} = E\left [\prod^{k-1} _{i=0} (X-i)\right] \]
積率母関数
\[ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \int _\Omega e^{tX(\omega)} P(d\omega) \\ &= \int ^{\infty} _{-\infty} e^{tx} dP(x) \\ &= \int ^{\infty} _{-\infty} e^{tx} f_X(x) dx \end{align} \]
性質
積率母関数は\(t\)に関して\(k\)階微分すると\(k\)次モーメントを得る. \[ \left. \frac{d}{dt}M_X(t) \right| _{t=0} = \left. \frac{d}{dt} \int ^{\infty} _{-\infty} e^{tx} f_X(x) dx \right| _{t=0} = \int ^{\infty} _{-\infty} x f_X(x) dx = E[X] \\ \left. \frac{d^2}{dt^2}M_X(t) \right| _{t=0} = \left. \frac{d^2}{dt^2} \int ^{\infty} _{-\infty} e^{tx} f_X(x) dx \right| _{t=0} = \int ^{\infty} _{-\infty} x^2 f_X(x) dx = E[X^2] \\ \left. \frac{d^k}{dt^k}M_X(t) \right| _{t=0} = \left. \frac{d^k}{dt^k} \int ^{\infty} _{-\infty} e^{tx} f_X(x) dx \right| _{t=0} = \int ^{\infty} _{-\infty} x^k f_X(x) dx = E[X^k] \]