極限

上極限集合・下極限集合

\(\forall i \in \mathbb{N},\; X_i \in \mathcal{X}\)としたとき, \[ \limsup _{i \to \infty} X_i = \bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j \] を上極限集合と言う. \[ \begin{align} \bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j &= \{x|\forall i \geq 0, x \in \{x| \exists j \geq i, x \in X_j \}\} \\ &= \{x|\forall i \geq 0, \exists j \geq i, x \in X_j \}\} \end{align} \] であり,上極限集合の元は,\(\forall i \in \mathbb{N},\; X_i\)のすべてに含まれる元である.

\[ \liminf _{i \to \infty} X_i = \bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} X_j \] を下極限集合と言う. \[ \begin{align} \bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} X_j &= \{x|\exists i \geq 0, x \in \{x| \forall j \geq i, x \in X_j \}\} \\ &= \{x|\exists i \geq 0, \forall j \geq i, x \in X_j \}\} \end{align} \] であり,下極限集合の元はとある\(i\)が存在し,\(\forall j \geq i, X_j\)のすべてに含まれる元である. \(\forall k < i, X_k\)なる\(X_k\)に,対象の元が含まれるかどうかは問わない.

\[ \liminf _{i \to \infty} X_i = \limsup _{i \to \infty} X_i \] が成立するとき,\(\lim _{i \to \infty} X_i\)と書く.

上極限集合,下極限集合は以下のような性質を持つ.

  • \(\liminf _{i \to \infty} X_i \subset \limsup _{i \to \infty} X_i\)

    • 証明
      \[ \begin{align} \liminf _{i \to \infty} X_i & \subset \limsup _{i \to \infty} X_i \\ \bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} X_j & \subset \bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j \\ \forall x, (x \in \bigcup ^{\infty} _{i=0} \bigcap^{\infty} _{j=i} X_j &\to x \in \bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j) \\ x \in \bigcup ^{\infty} _{i=0} \{x|\forall j \geq i (x \in X_j)\} &\to x \in \bigcap ^{\infty} _{i=0} \{x|\exists j \geq i (x \in X_j)\} \\ x \in \{x|\exists i \geq 0 \{x|\forall j \geq i (x \in X_j)\} \} &\to x \in \{x| \forall i \geq 0 \{x|\exists j \geq i (x \in X_j)\}\} \\ x \in \{x|\forall j \geq i (x \in X_j)\} &\to x \in \{x|\exists j \geq i (x \in X_j)\} \\ x \in \bigcap^{\infty} _{j=i} X_j &\to x \in \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j \\ \end{align} \]

  • \(X_i\)が単調増大列のとき,\(\lim _{i \to \infty} X_i = \bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i\), \(X_i\)が単調減少列のとき,\(\lim _{i \to \infty} X_i = \bigcap ^{\infty} _{i=0} X_i\).

    • 証明
      \(X_i\)が単調増大列のとき, \[ \limsup _{i \to \infty} X _i = \bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i \] が成立する.なぜならば,\(X_i\)が単調増大列なので, \[ \begin{align} \limsup _{i \to \infty} X _i &= \lim _{n \to \infty} \left( \left( \bigcup^{\infty} _{j=0} X_j \right) \cap \left( \bigcup^{\infty} _{j=1} X_j \right) \cap \dots \cap \left( \bigcup^{\infty} _{j=n} X_j \right) \right) \\ &= \bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i \end{align} \] また, \[ \liminf _{i \to \infty} X _i = \bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i \] が成立する. \begin{align} \liminf _{i \to \infty} X _i &= \lim _{n \to \infty} \left( \left( \bigcap^{\infty} _{j=0} X_j \right) \cup \left( \bigcap^{\infty} _{j=1} X_j \right) \cup \dots \cup \left( \bigcap^{\infty} _{j=n} X_j \right) \right) \\ &= \lim _{n \to \infty} \left( X_0 \cup X_1 \cup \dots \cup X_n \right) \\ &= \bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i \end{align} から,\(X_i\)が単調増大列のとき,\(\lim _{i \to \infty} X_i = \bigcup ^{\infty} _{i=0} X_i\)

      \(X_i\)が単調減少列のとき, \[ \limsup _{i \to \infty} X _i = \bigcap ^{\infty} _{i=0} X_i \] が成立する.なぜならば,\(X_i\)が単調減少列なので, \begin{align} \limsup _{i \to \infty} X _i &= \lim _{n \to \infty} \left( \left( \bigcup^{\infty} _{j=0} X_j \right) \cap \left( \bigcup^{\infty} _{j=1} X_j \right) \cap \dots \cap \left( \bigcup^{\infty} _{j=n} X_j \right) \right) \\ &= \lim _{n \to \infty} \left( X_0 \cap X_1 \cap \dots \cap X_n \right) \\ &= \bigcap ^{\infty} _{i=0} X_i \\ \end{align} また, \[ \liminf _{i \to \infty} X _i = \bigcap ^{\infty} _{i=0} X_i \] が成立する. \[ \begin{align} \liminf _{i \to \infty} X _i &= \lim _{n \to \infty} \left( \left( \bigcap^{\infty} _{j=0} X_j \right) \cup \left( \bigcap^{\infty} _{j=1} X_j \right) \cup \dots \cup \left( \bigcap^{\infty} _{j=n} X_j \right) \right) \\ &= \bigcap ^{\infty} _{i=0} X_i \end{align} \] から,\(X_i\)が単調減少列のとき\(\lim _{i \to \infty} X_i = \bigcap ^{\infty} _{i=0} X_i\)

Borel-Cantelliの定理

  • \(\mathcal{X}\)を完全加法族とする.\(\{X_i\}_{i \geq 0} \subset \mathcal{X}\),  \( i _0 \in \mathbb{N} \),  \( \sum _{i \geq i _0} m(X _i) < \infty \)なら,  \(m(\limsup _{i \to \infty} X_i)=0\)
    • 証明
      劣加法性より, \[ m(\bigcup^{\infty}_{i = i_0} X_i) \leq \sum _{i \geq i_0} m(X_i) \] \[ m(\limsup _{i \to \infty} X_i) = m(\bigcap^{\infty} _{i=0} \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j) \] \(Y_i = \bigcup^{\infty} _{j=i} X_j\)と置くと,\(Y_i\)は単調減少列である.よって,下方連続性と \( \sum _{i \geq i _0} m(X _i) < \infty \)の仮定により, \[ \begin{align} m(\bigcap ^{\infty} _{i=0} \bigcup ^{\infty} _{j=i} X_j) &= m(\bigcap ^{\infty} _{i=0} Y _i) \\ &= \lim _{i \to \infty} m(Y _i) \\ &= \lim _{i \to \infty} m(\bigcup ^{\infty} _{j=i} X _j) \\ &\leq \lim _{i \to \infty} \sum ^{\infty} _{j=i} m(X _j) = 0 \\ \end{align} \]