確率測度の性質

確率測度は一般の測度性質を受け継ぐ. 以下,\(\mathcal{F}\)を完全加法族,\(P\)を

事象の列\(A_k \in \mathcal{F},k=1,2,\dots\)とした時

\[ P(\bigcup^{n} _{k=1} A_k) = P(\coprod^{n} _{k=1} A_k) = \sum^{n} _{k=1} P(A_k) \tag{PM.4} \]

\[ A_1,A_2 \in \mathcal{F} \land A_1 \subset A_2 \to P(A_1) \leq P(A_2) \tag{PM.5} \]

事象の列\(A_k \in \mathcal{F},k=1,2,\dots\)について, \[ A_k \subset A_{k+1} \] を満たすとき単調増大列といい, \[ A_k \supset A_{k+1} \] を満たすとき単調減少列という.

事象の列\(A_k \in \mathcal{F},k=1,2,\dots\)とした時 \[ P(\bigcup^{\infty}_{k=0}A_k) \leq \sum^{\infty} _{i=0} P(A_k) \tag{PM.6} \]

事象の列\(A_k \in \mathcal{F},k=1,2,\dots\)が単調増大列のとき \[ P(\bigcup^{\infty} _ {k=1} A_k) =\lim_{k \to \infty} P(A_k) \tag{PM.7} \] が成立しこれを上方連続性という.

事象の列\(A_k \in \mathcal{F},k=1,2,\dots\)が単調減少列のとき \[ P(\bigcap^{\infty} _ {k=1} A_k) = \lim_{k \to \infty} P(A_k) \tag{PM.8} \] が成立しこれを下方連続性という.