確率密度関数
累積分布関数
\[ F_X(x) := P(X \leq x) = P(\{\omega|X(\omega) \leq x\}) \] を累積分布関数または単に分布関数と言う. 定義の通り,観測値が\(x\)以下である事象が発生する確率を得ることができる関数である. (測度から実関数への橋渡しを行う.) 任意の関数\(F(x)\)が累積分布関数になるための必要十分条件は, \(x,x_1,x_2 \in \overline{\mathbb{R}}\)に対して,以下の3つの条件が成立することである.
- \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \; \lim_{x \to \infty} F(x) = 1\)
- \( \forall x_1, \forall x_2, x_1 < x_2 \to F(x_1) \leq F(x_2) \)
- \(\lim_{x \to a+0} F(x) = F(a) \)
2は非減少関数であること,3は関数が右連続関数であることを示す. 累積分布関数の定義より, \[ \begin{align} P(a < X) &= P(\{\omega | a < X(\omega) \}) \\ &= P(\{\omega | X(\omega) \leq a \}^c) \\ &= 1 - P(X \leq a) \\ &= 1 - F_X(a) \\ \\ P(a < X \leq b) &= P(\{\omega | X(\omega) \leq b\} \backslash \{\omega | X(\omega) \leq a \}) \\ &= P(\{\omega | X(\omega) \leq b\} \cap \{\omega | X(\omega) \leq a \}^c) \\ &= P(\{\omega | X(\omega) \leq b\}) + P(\{\omega | X(\omega) \leq a \}^c) - P(\{\omega | X(\omega) \leq b\} \cup \{\omega | X(\omega) \leq a \}^c) \\ &= P(\{\omega | X(\omega) \leq b\}) + 1 - P(\{\omega | X(\omega) \leq a\}) - P(\{\omega | X(\omega) \leq b\} \cup \{\omega | a < X(\omega) \}) \\ &= P(X \leq b) - P(X \leq a) \\ &= F_X(b) - F_X(a) \\ \end{align} \]
確率密度関数
累積分布関数の\(x\)での変化量を得ることができると,積分することにより任意の事象に対する確率が得られる.
\[ \begin{align} P(d\omega) &= \lim _ {dx \to 0} P(\{\omega| X(\omega) < x+dx\} \backslash \{\omega| X(\omega) < x\}) \\ &= \lim _ {dx \to 0} P(\{\omega| X(\omega) < x+dx\})- P(\{\omega| X(\omega) < x\}) \\ &= \lim _ {dx \to 0} F_X(x+dx) - F_X(x) \\ &= dF_X(x) \end{align} \]
\( F_X(x) \)が微分可能ならば\( \frac{dF_X(x)}{dx} = f_X(x) \)として, \(f_X(x)\)を確率密度関数と言う.
定義から, \[ P( X \leq a ) = F_X(a) = \int^a_{-\infty} f_X(x) dx \]
\[ \begin{align} P(a < X \leq b) &= F_X(b) - F_X(a) \\ &= \int^b_{-\infty} f_X(x)dx - \int^a_{-\infty} f_X(x)dx \\ &= \int^b_{a} f_X(x)dx \end{align} \]