確率変数の独立性
確率の独立性から確率変数の独立性が得られる. 事象\(A,B\)とその事象をとる確率変数\(X,Y\)とすると, \[ P(X \in A, Y \in B) = \int_B \int_A f_{X,Y}(x,y) dx dy \] 事象\(A,B\)が独立であると, \[ P(X \in A, Y \in B) = P(\{\omega|X(\omega) \in A\} \cap \{\omega|X(\omega) \in B\}) = P(\{\omega|X(\omega) \in A\})P(\{\omega|X(\omega) \in B\}) \] となるので, \[ P(X \in A, Y \in B) = \int_B \int_A f_{X}(x) f_{Y}(y) dx dy \] となり, \(f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x) f_{Y}(y)\)であるとき,確率変数\(X,Y\)が独立(independent)であるという.
確率変数\(X,Y\)が独立であるとき, \[ E[g(X)h(Y)] = E[g(X)] \cdot E[h(X)] \] が成立する.
- 証明 \[ \begin{align} E^{X,Y}[g(X)h(Y)] &= \int \int g(x)h(y)f_{X,Y}(x,y) d\mu_X(x) d\mu_Y(y) \\ &= \int \int g(x) h(y) f _X(x)f _Y(y) d\mu_X(x) d\mu_Y(y) \\ &= \int g(x) f _X(x) d\mu_X(x) \int h(y) f _Y(y) d\mu_Y(y) \\ &= E^{X}[g(X)] \cdot E^{Y}[h(Y)] \end{align} \]
確率変数\(X,Y\)が独立でないとき,\(X,Y\)は従属しているという.