特性関数

分布関数のフーリエ変換を特性関数と言う.

特性関数

確率変数\(X\)の特性関数を以下のように定義する. \[ \begin{align} \varphi _X(t) = E[e^{itX}] &= \int _{\Omega} e^{itX(\omega)} P(d\omega) \\ &= \int ^{\infty} _{-\infty} e^{itx} dF_X(x) \\ &= \int ^{\infty} _{-\infty} e^{itx} f_X(x)dx \end{align} \]

フーリエ変換の単射性により,変換元の関数と変換先の関数が1対1に対応する. 同じように,分布関数と特性関数は1対1対応するはずである. 分布関数が微分可能なら,確率密度関数も特性関数に1対1対応する. それを保証するのがLevyの反転定理である.