確率測度
標本空間
全事象\(\Omega\)に完全加法族\(\mathcal{F}\)を与えると,標本空間\((\Omega,\mathcal{F})\)得る.したがって,以下の条件を満たす. \[ \emptyset \in \mathcal{F} \tag{O.1} \] \[ \forall A \in \mathcal{F} \land A \subset \Omega \to A^c \in \mathcal{F} \tag{O.2} \] \[ A_i \in \mathcal{F},i \in \overline{\mathbb{N}} \to \displaystyle \bigcup_{i}^{\infty} A_i \in \mathcal{F} \tag{O.3} \]
上記条件より
- \( \mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(\Omega) \) (\(\mathcal{F}\)は全事象\(\Omega\)の部分集合全体の内,可測であるものだけから構成される.)
- \(\emptyset^c \in \mathcal{F} \to \Omega \in \mathcal{F} \)
確率測度
事象から確率を得る関数\(P:\Omega \mapsto [0,1]\)を確率測度と言う. 確率測度は以下の条件を満たす.
\[ \begin{align} & \forall A \in \mathcal{F} \to P(A) \in [0,1] \tag{PM.1} \\ & P(\Omega) = 1 \tag{PM.2} \\ & \forall i,j \in \overline{\mathbb{N}}, \forall A_i, A_j ( A_i, A_j \in \mathcal{F}, i \not = j \to A_i \cap A_j = \emptyset) \to P(\displaystyle \bigcup_{i}^{\infty} A_i) = \sum_{i}^{\infty} P(A_i) \tag{PM.3} \end{align} \]
(PM.3)は確率測度での完全加法性,\(\sigma\)-加法性という.
確率測度に事象を入れると確率が得られる.事象に対する分布が得られるので,確率分布とも言う.