大数の弱法則
平均\(\mu < \infty\),分散\(\sigma^2 < \infty\)とし,\(\{X_i\}\)が\((\mu,\sigma^2)\)に従うとする. このとき,算術平均(標本平均) \[ \overline{X} = \displaystyle \frac{1}{n} \sum^{n} _ {i=1} X_i \] は \[ \overline{X} \xrightarrow{p} \mu \] と平均に確率収束する.
- 証明
\[ \begin{align} E[(\overline{X}-\mu)^2] &= E[(\frac{1}{n} \sum^{n} _ {i=1} X_i-\mu)^2] \\ &= E[\frac{1}{n^2}(\sum^{n} _ {i=1} X_i- n\mu)^2] \\ &= \frac{1}{n^2}E[\sum^{n} _ {i=1}(X_i- \mu)^2] \\ &= \frac{\sigma^2}{n^2} \end{align} \] より,上式は平均収束する. \[ \lim_{n \to \infty} E[(\overline{X}-\mu)^2] = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n^2} = 0 \] 平均収束ならば,Chebyshevの不等式より確率収束する.