事象

集合論との対応付

集合論で扱うためには,偶然性を含む行為で得られる結果を対象としないといけない. 偶然性を含む行為で対象を得ることを試行と言う.偶然性を含む行為とは具体的には,実験,調査,観測である.1回の試行から得られた結果の値を,単一事象,観測値などと言う.これが,集合の要素に当たり,単一事象の集合を事象という. 試行により得られる全単一事象の集合を標本空間,全事象といい,\(\Omega\)で表す.ある事象\(A\)は全事象の部分空間である. \[ A \subset \Omega \]

事象の演算

事象も集合と同じ演算が行える.

• 積事象 \( A \cap B \)   事象\( A, B\)がともに起こる.
• 和事象 \( A \cup B \)   事象\( A, B\)どちらかが起こる.
• 余事象 \( A^c \)   事象\( A \)ではない事象が起こる.
• 空事象 \( \emptyset \)   単一事象を全く含まない事象.

これらから,以下を定義する.

• 差事象 \(A \backslash B = A \cap B^c\)
• 対称差 \(A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)\)

事象\(A,B\)にて,\( A \cap B = \emptyset \)ならば,事象\(A,B\)は互いに排反である.

集合の演算と同様,交換律,結合律,分配律が成立する.

• 交換律
  • \( A \cap B = B \cap A, A \cup B = B \cup A \)
• 結合律
  • \( A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)
  • \( A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)
• 分配律
  • \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
  • \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)

集合の演算と同様,ド・モルガン則が成立する.

• \( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \)
• \( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \)