測度

数学において,対象を測るということは,集合の大きさ得るということである. そのための関数を測度と言う. 測る対象の集合が測ることが可能なら可測といい, その集合を可測集合と言う.

準備

以下のように自然数,実数などの集合を定義する.

• \(\mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \)
• \(\mathbb{N}_+ = \{1,2,\dots\} \)
• \(\overline{\mathbb{N}} = \mathbb{N} \cup \{ +\infty \} \)
• \(\overline{\mathbb{N}_+} = \{1,2,\dots\} \cup \{ +\infty \} \)
• \(\mathbb{R} = \{x|実数\} \)
• \(\mathbb{R}^d = \prod_{i=1}^{d} \mathbb{R} \)
• \(\mathbb{R}_+ = \{x|x \geq 0 の実数\} \)
• \(\overline{\mathbb{R}} = \{x|実数\}\cup \{-\infty,+\infty \} \)
• \(\overline{\mathbb{R}_{+}} = \mathbb{R}_{+} \cup \{+\infty\} \)

測度

測度 : 集合\( S \)から集合\(\overline{\mathbb{R}_{+}} = \{x| 0 \leq x \leq \infty \} = [0,\infty]\)の 部分集合\(D \subset \overline{ \mathbb{R} } \)への写像である. \[ m: S \mapsto D \] 集合\(E \in \mathfrak{P}(S) \)が可測なら,\(m(E)\)は集合\(D\)に属する値(要素)が定まる.