変数変換
２つの確率変数\(X,Y\)を用意し,この二つの確率変数から新たに確率変数を 生成する関数\(S=s(X,Y),T=t(X,Y)\)を用意する. では,２つの確率変数の同時確率密度関数を\(f_{X,Y}(x,y)\)としたとき, 変数変換後のは同時確率密度関数どうなるだろうか? まず,関数\(s,t\)は偏微分可能であり,逆関数が存在するとする. 重積分の変数変換の公式から, \[ \int \int f_{X,Y}(x,y)dxdy = \int \int f_{X,Y}(s^{-1}(s,t),t^{-1}(s,t))|J(s,t)| dsdt \] \[ J(s,t) = \det \left( \begin{array}{c} \frac{\partial s(x,y)}{\partial x} & \frac{\partial s(x,y)}{\partial y} \\ \frac{\partial t(x,y)}{\partial x} & \frac{\partial t(x,y)}{\partial y} \end{array} \right) = \frac{\partial s(x,y)}{\partial x}\frac{\partial t(x,y)}{\partial y} - \frac{\partial s(x,y)}{\partial y}\frac{\partial t(x,y)}{\partial x} \] から \[ f_{S,T}(s,t) = f_{X,Y}(s^{-1}(s,t),t^{-1}(s,t))|J(s,t)| \] となり, \[ f_{X,Y}(x,y) = \frac{f_{S,T}(s,t)}{|J(s,t)|} \]