Kolmogorovの定理

\(\{X_i\}_{1 \leq i \leq \infty}\)を\((\Omega,\mathcal{F},P)\)上の独立な確率変数列とする. \(\sum ^{\infty} _{i=1} E[X _i] < \infty,\sum ^{\infty} _{i=1} {\rm var}(X _i)< \infty\)でともに収束するなら, \(\sum ^{\infty} _{i=1} X _i\)は概収束する.

証明
Kolmogorovの不等式 \[ P(\max _{1 \leq k \leq n}| \sum^{k} _{i=1} X _i| \geq \lambda) \leq \frac{1}{\lambda^2} \sum^{n} _{i=1} {\rm var}(X_i) \] に,\(\{X _{n+i}\} _{1 \leq i \leq \infty} \)を適用する. \[ \begin{align} P(\max _{1 \leq k \leq m}| \sum ^{k} _{i=1} X _{n+i}| \geq \lambda) &\leq \frac{1}{\lambda^2} \sum ^{m} _{i=1} {\rm var}(X _{n+i}) \\ P(\max _{1 \leq k \leq m}| \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{n} _{i=1} X _{i}| \geq \lambda) &\leq \frac{1}{\lambda^2} \sum ^{m} _{i=1} {\rm var}(X _{n+i}) \end{align} \] \[ | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | \leq | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{n} _{i=1} X _{i}| + |\sum ^{n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i}| \] 上式より, \[ \max _{1 \leq k,l \leq m} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | \leq 2 \max _{1 \leq k \leq m} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{n} _{i=1} X _{i}| \] から, \[ \begin{align} P( \max _{1 \leq k,l \leq m} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2\lambda ) &\leq P(\max _{1 \leq k \leq m} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{n} _{i=1} X _{i}| > \lambda) \\ & \leq \frac{1}{\lambda^2} \sum ^{m} _{i=1} {\rm var}(X _{n+i}) \end{align} \] 事象\(\{\omega| \max _{1 \leq k,l \leq m} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i}(\omega) - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i}(\omega) | > 2 \lambda \} \)は\(m\)が増大すると \( \{ \omega| \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i}(\omega) - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i}(\omega) | > 2 \lambda \} \)に近づくので,

\[ \begin{align} \lim _{m \to \infty} P( \max _{1 \leq k,l \leq m} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2\lambda ) &\leq \lim _{m \to \infty} \frac{1}{\lambda^2} \sum ^{m} _{i=1} {\rm var}(X _{n+i}) \\ P( \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2 \lambda ) &\leq \frac{1}{\lambda^2} \sum ^{\infty} _{i=1} {\rm var}(X _{n+i}) \end{align} \] 事象\(\{\omega| \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2 \lambda \} \)は\(n\)が増大すると,減少するので,

\[ \begin{align} \lim _{n \to \infty} P( \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2 \lambda ) &\leq \lim _{n \to \infty} \frac{1}{\lambda^2} \sum ^{\infty} _{i=1} {\rm var}(X _{n+i}) \\ P( \lim _{n \to \infty} \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2 \lambda ) &\leq \lim _{n \to \infty} \frac{1}{\lambda^2} \left \{ \sum ^{\infty} _{i=1} {\rm var}(X _{i}) - \sum ^{n} _{i=1} {\rm var}(X _{i}) \right\} \\ \end{align} \] 仮定にて,\(\sum ^{\infty} _{i=1} {\rm var}(X _i)\)は収束するので, \[ P( \lim _{n \to \infty} \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | > 2 \lambda ) = 0 \] ここで,\(\lambda \to 0\)とすると, \[ P( \lim _{n \to \infty} \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | = 0 ) = 1 \] から, \[ \lim _{n \to \infty} \sup _{1 \leq k,l} | \sum ^{k+n} _{i=1} X _{i} - \sum ^{l+n} _{i=1} X _{i} | = 0 \; P \text{-a.s} \] となり,\(\sum ^{\infty} _{i=1} X _i\)が概収束することになる.