連続写像定理
連続写像定理
確率変数列\(\{X _i\} _{i \in \overline{\mathbb{N} _+}}\)と実数\(x\)に対して, \[ X _n \xrightarrow{p} x \] である時,\(g: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\)を連続関数とすると, \[ g(X _n) \xrightarrow{p} g(x) \] が成立する.
- 証明
確率変数列\(X _n\)は,確率収束するので, \[ \lim _{n \to \infty} P(|X _n-x| < \delta) = 1 \]
関数\(g\)が連続関数ということは,任意の正数\(\varepsilon,\delta\)に対して,
\[ |X _n - x| < \delta ならば, |g(X _n) - g(x)| < \varepsilon \]
であるので,
\[ P(|X _n - x| < \delta) < P(|g(X _n) - g(x)| < \varepsilon) <= 1 \]
から,
\[ \lim_{n \to \infty} P(|g(X _n) - g(x)| < \varepsilon) = 1 \] が成立する.