平均・分散・モーメント

平均・分散・モーメントは,確率変数の特性を表す値である.

平均値・分散

\(g(X)=X\)としたときの期待値を平均といい, \[ \mu = E[X] \]と表す.

\(g(X)=(X-\mu)^2\)としたときの期待値を分散といい, \[ {\rm var}(X)=E[(X-\mu)^2] \] と表す.また\(\sigma = \sqrt{{\rm var}(X)}\)と置き,標準偏差という.

分散は期待値の線形性より, \[ E[(X-\mu)^2]=E[X^2-2\mu X+\mu^2] = E[X^2]-\mu^2 = E[X^2]-E[X]^2 \]

分散の性質

分散は尺度に影響されるが,平行移動はしない. \[ \forall a,b \in \mathbb{R}, {\rm var}(aX+b)=a^2{\rm var}(X) \]

• 証明 \[ \begin{align} {\rm var}(aX+b) &= E[(aX+b)^2]-E[(aX+b)]^2 \\ &= E[(aX)^2+2abX+b^2] - (E[aX]^2+2E[aX]E[b]+E[b]^2) \\ &= E[(aX)^2]+2abE[X]+b^2 - a^2E[X]^2-2E[aX]E[b]-b^2 \\ &= a^2E[X^2] - a^2E[X]^2 \\ &= a^2 {\rm var}(X) \\ \end{align} \]

Chebyshevの不等式

確率変数\(X\)の平均を\(\mu\),分散を\(\sigma^2\)とする.\(\varepsilon \geq 0\)に対して, \[ P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \tag{Chebyshev} \] が成立する.

• 証明
  Markovの不等式にて\(g(X)=(X-\mu)^2,\,a=\varepsilon^2\)と置くと, \[ E[(X-\mu)^2] \geq \varepsilon^2 P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \] から \[ P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \\ \]

モーメント

\(k \in \mathbb{N},k \geq 1\)に対して, \[ E[(X-\mu)^k] = \int ^{\infty} _{-\infty} (x-\mu)^k f_X(x) dx \] を平均値周りの\(k\)次モーメントと言う.\(k=2\)の場合は分散となる. モーメントは積率とも言う.