変数変換
関数 \(g:{\mathbb R} \mapsto {\mathbb R}\)にて,確率変数\(X\)が\(Y=g(X)\)と確率変数\(Y\)に 変換されたときの\(Y\)の確率分布を確率変数\(X\)から得る方法を考える.
変数変換
確率変数\(X\)の確率密度関数を\(f_X(x)\)とし,関数\(g\)が単調増加関数で逆関数を持つとした時, 確率変数\(Y\)が,\(Y=g(X)\)と確率変数\(X\)の変換により得られる時,\(Y\)の確率密度関数は, \[ f_Y(g(x)) = \frac{f_X(x)}{g'(x)} \]
- 証明
\(Y=g(X)\)とした時,\(P(\{X \leq x\}) = P(\{Y \leq g(x)\})\)であるので, \(P(\{X \leq x\}) = F_X(x), P(\{Y \leq g(x)\}) = F_Y(g(x))\)とした時, \[ \begin{align} F _X(x) &= \int^{x} _{-\infty} f_X(x) dx \\ F _Y(g(x)) &= \int^{g(x)} _{-\infty} f_Y(g(x)) dy \\ \end{align} \] から, \[ \int^{x} _{-\infty} f_X(x) dx = \int^{g(x)} _{-\infty} f_Y(g(x)) dy \] \(y=g(x)\)として右辺の置換積分を行うと, \[ \int^{x} _{-\infty} f_X(x) dx = \int^{g(x)} _{-\infty} f_Y(g(x)) g'(x) dx \] 両辺を\(x\)について微分すると, \[ f_X(x) = f_Y(g(x)) g'(x) \] 確率変数\(X\)から,確率変数\(Y\)の分布を求めたいので, \[ \begin{align} f_Y(g(x)) &= \frac{f_X(x)}{g'(x)} \\ f_Y(y) &= \frac{f_X(x)}{g'(x)} = \frac{f_X(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))} \end{align} \]