確率変数の和の分布

2つの確率変数\(X\)と\(Y\)が独立で,それぞれの確率密度関数を\(f _X(x),f _Y(y)\)とする. このときの,\(S=X+Y\)の分布を求める場合,畳み込みを行う,確率母関数,特性関数を利用する方法がある.

連続確率変数の場合,\(S=X+Y,T=Y\)なる変数変換を考えると,ヤコビアンは, \[ J(s,t) = \left| \begin{array} {c} \frac{\partial s}{\partial x} & \frac{\partial s}{\partial y} \\ \frac{\partial t}{\partial x} & \frac{\partial t}{\partial y} \end{array} \right| = \left| \begin{array} {c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = 1 \] \[ \int \int f _X(x) f _Y(y) dx dy = \int \int f _X(s-t) f _Y(t) |J(s,t)| ds dt = \int \int f _{S,T}(s,t) |J(s,t)|dsdt \] から, \[ f _{S,T}(s,t) = f _X(s-t) f _Y(t) \] ここで,得たいのは,確率変数\(S\)の確率密度関数関数である.同時確率密度関数の周辺分布から, \[ f _S(s) = \int _{\Omega} f _{S,T}(s,t) dt = \int _{\Omega} f _X(s-t) f _Y(t) dt \] と書ける.これを畳み込み(convolution)といい. \(f _S(s) = f _X * f _Y(s)\)と書く.

特性関数を利用する方法

2つの確率変数\(X\)と\(Y\)の特性関数を\(\varphi_X(t),\varphi_Y(t)\)とする,この時,\(Z = X + Y\)の特性関数は, \[ \varphi _Z(t) = E[e^{itZ}] = E[e^{it(X+Y)}] = E[e^{itX} e^{itY}] = E[e^{itX}] E[e^{itY}] = \varphi _X(t) \varphi _Y(t) \] となる.Levyの反転公式によると,特性関数と分布は一対一対応するので,\(\varphi _X(t) \varphi _Y(t)\)を特性関数とする分布を見つけることができれば,それは,\(\varphi _Z(t)\)の分布となる.