指数分布
ポアソン分布は,所定時間内に平均\(\lambda\)回発生する確率分布であるが, 逆に所定時間内に平均\(\lambda\)回発生する事象が,指定された時間内に1回事象が 発生する確率を考える.
まず,単位時間当たりに平均\(\lambda\)回発生する事象が発生する平均の経過時間は\(\theta=\frac{1}{\lambda}\)である. 時間\(t\)までに事象が発生する確率を\(P(T \leq t)\)とする. では,時間\(t\)から\(t+\Delta t\)までに事象が発生する確率は, \[ P(t < T \leq t + \Delta t) = (1 - P(T \leq t))\left(\frac{\Delta t}{\theta}\right) \] となる. \(P\)の累積確率分布関数を\(F_T\)とすると,
\[ F _T(t + \Delta t) - F _T(t) = (1 - F _T(t))\left(\frac{\Delta t}{\theta}\right) \]
両辺\(\Delta t\)で割ると, \[ \frac{F_T(t + \Delta t) - F_T(t)}{\Delta t} = (1 - F_T(t))\left(\frac{1}{\theta}\right) \] \(\Delta t \to 0 \)の極限を取ると, \[ \frac{dF_T(t)}{d t} = (1 - F_T(t))\left(\frac{1}{\theta}\right) \] \(F_T\)の確率密度関数を\(f_T\)とすると, \[ f_T(t) = \left(1 - \int ^{t} _{0} f_T(t) dt \right) \left(\frac{1}{\theta}\right) \tag{1} \] これを,\(t\)で微分すると, \[ \frac{df_T(t)}{dt} = \frac{- f_T(t)}{\theta} \] この方程式の解は, \[ f_T(t) = Ce^{-\frac{t}{\theta}} \] 拘束条件 \[ \int ^{\infty} _{0} f _T(t) dt = 1 \] より, \[ f _T(t) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} \] 改めて,単位時間当たりに平均\(\lambda\)回発生する事象が,時間\(t\)までに発生する確率分布は 指数分布(exponential distribution)と呼ばれ, \[ \mathcal{Ex}(\lambda) = f _T(t:\lambda) = \lambda e^{-\lambda t} \] という,確率密度関数として表される.
平均
\[ \begin{align} E[T] &= \int ^{\infty} _{0} t f _T(t) dt \\ &= \int ^{\infty} _{0} t \lambda e^{-\lambda t} dt \end{align} \] \(x=\lambda t\)と置くと, \[ \begin{align} \int ^{\infty} _{0} t \lambda e^{-\lambda t} dt &= \int ^{\infty} _{0} x e^{-x} \frac{1}{\lambda} dx \\ &= \frac{1}{\lambda} \left\{ \int ^{\infty} _{0} x e^{-x} dx \right\} \\ &= \frac{1}{\lambda} \left\{ \int ^{\infty} _{0} x (-e^{-x})' dx \right\} \\ &= \frac{1}{\lambda} \left\{ \left[ -xe^{-x} \right] ^{\infty} _{0} - \int ^{\infty} _{0} (-e^{-x}) dx \right\} \\ &= \frac{1}{\lambda} \left\{ \left[ -xe^{-x} \right] ^{\infty} _{0} - [ e^{-x} ]^{\infty} _{0} \right\} = \frac{1}{\lambda} \end{align} \]
分散
\[ E[T^2] = \int ^{\infty} _{0} t^2 \lambda e^{-\lambda t} dt \] \(x=\lambda t\)と置くと, \[ \begin{align} \int ^{\infty} _{0} t^2 \lambda e^{-\lambda t} dt &= \int ^{\infty} _{0} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^2 \lambda e^{-x} \frac{1}{\lambda} dx \\ &= \frac{1}{\lambda^2} \int ^{\infty} _{0} x^2 e^{-x} dx \\ &= \frac{1}{\lambda^2} \int ^{\infty} _{0} x^2 (-e^{-x})' dx \\ &= \frac{1}{\lambda^2} \left\{ \left[ -x^2 e^{-x} \right]^{\infty} _{0} - \int ^{\infty} _{0} 2x (-e^{-x}) dx \right\} \\ &= \frac{1}{\lambda^2} \left\{ 2 \int ^{\infty} _{0} x e^{-x} dx \right\} = \frac{2}{\lambda^2} \end{align} \] から, \[ {\rm var}(T) = E[T^2] - E[T]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \]
積率母関数
\[ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] =\int ^{\infty} _{0} e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} dx \\ &= \int ^{\infty} _{0} \lambda e^{(t-\lambda) x} dx \\ \end{align} \] \(y = (\lambda-t) x\)と置く,\(\frac{dy}{dx} = (\lambda-t)\). \[ \begin{align} \int ^{\infty} _{0} \lambda e^{(t-\lambda) x} dx &= \int ^{\infty} _{0} \lambda e^{-(\lambda-t) x} dx \\ &= \lambda \int ^{\infty} _{0} e^{-y}\frac{dy}{(\lambda-t)} \\ &= \frac{\lambda}{(\lambda-t)} \end{align} \]
特性関数
\[ \begin{align} \varphi_X(t) = E[e^{itX}] = \frac{\lambda}{(\lambda-it)} \end{align} \]
ハザード関数
上記の(1)式から, \[ \lambda(t) = \frac{f_T(t)}{1 - \int ^{t} _{0} f_T(t) dt} = \frac{f_T(t)}{1 - F _T(t)} \] が得られる.これは,ハザード関数,故障率関数(hazard function)といい, \(t\)時間まで事象が発生せず,\(t\)時間に故障が発生する確率になる.