測度空間

\(X\)を集合, \(\emptyset \in \mathcal{X} \subset \mathfrak{B}(X)\), \(m:\mathcal{X} \to \overline{\mathbb{R}_{+}}\) とする. 空間\((X,\mathcal{X})\)で,以下の性質を定義する.

非負性

\[ \forall X \in \mathcal{X},\;0=m(\emptyset) \leq m(X) \leq \infty \tag{m.1} \]

可算加法性

\(\{X_n\} _{n \geq 0}\)にて集合族の要素が互いに素であるとき, \[ \{X_n\} _{n \geq 0} \subset \mathcal{X},\; A_0=\bigcup^{\infty} _{n \geq 1} X_n \] ならば \[ m(X_0) = \sum^{\infty} _{n \geq 1} m(X_n) \tag{m.2} \]

完全加法性,\(\sigma\)-加法性とも言う. \(\mathcal{X}\)が完全加法族なら関数\(m\)は測度といい,\((X,\mathcal{X},m)\)を測度空間という.

単調増大列・単調減少列

\(\{X _n\} _{n \geq 0}\)にて,

\[ X_n \subset X_{n+1} \]

であるような集合列を単調増大列といい,

\[ X_n \supset X_{n+1} \]

であるような集合列を単調減少列という.