確率変数

全事象に属する単一事象は,実数値とは限らない. であるので,単一事象から実数値に対応付ける関数を用意する.これを確率変数という. (関数なのに変数という...)

\[ X : \Omega \mapsto \mathbb{R} \]

単一事象\(\forall \omega \in \Omega \)を確率変数に入れた値\(X(\omega)\)をここではデータと名付ける. データは実際には観測値,測定値などに当たる. 例えば,\(\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A \}\)とデータがとある条件で定める集合\(A\)に属する事象を定めたとき, それが起こる確率は\(P(\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A\})\)で得られるが,\(P(\cdot)\)が引き取れる集合は,可測集合でなくては行けない.なので,\(\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A\}\)は完全加法族\(\mathcal{F}\)に属するという制約がつけられる. 一般に, \[ \begin{align} & P(X \in A) := P(\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A\}) \\ & P(X \leq x) := P(\{\omega \in \Omega | X(\omega) \leq x \}) \\ & P(a \leq X < b) := P(\{\omega \in \Omega | a \leq X(\omega) < b\}) \end{align} \] と略記する.

また,微小事象\(d\omega\)とすると, \[ \begin{align} P(d\omega) &:= \lim _{dx \to 0} P(\{\omega \in \Omega | x < X(\omega) \leq x+dx\}) \\ &= \lim _{dx \to 0} \{ P(X \leq x+dx) - P(X \leq x) \} \\ &= P(\{ \omega|X(\omega) = x) \}) \end{align} \] と表記し,微小事象の確率と表す.