定常時系列
\(t,T \in \mathbb{R}, 1 \leq t \leq T \)として時刻を表すとする.
時刻\(t\)の時,とある分布に従って,とある事象のときに値を得ることができる確率変数を,
\[
X_t = X(\omega,t)
\]
と定義する.
\(X_t\)の平均,分散を得ることができて,
\[
\mathrm{E}[X_t] = \mu_t \\
\mathrm{V}[X_t] = {\sigma_t}^2 \\
\]
とする.
また,過去の時間に得た値と相関がある場合は,
\[
\mathrm{Cov}(X_t, X_{t-s}) = \mathrm{E}[(X_t-\mu_t)(X_{t+s} - \mu_{t-s})] = \gamma_{t,s}
\]
これを自己共分散という.
\[
\mathrm{Corr}(X_t, X_{t-s}) = \frac{\mathrm{Cov}(X_t, X_{t-s})}{\sqrt{\mathrm{V}[X_t],\mathrm{V}[X_{t-s}]}} = \rho_{t,s}
\]
として,これを自己相関係数という.
更に,\(\mathrm{Corr}(X_t, X_{t-s})\)から,\(X_{t-1},X_{t-2},…,X_{t-(s-1)}\)の影響を取り除いた,相関を偏自己相関係数という. \[ \begin{align} \psi_{t,s} &= \mathrm{Corr}(X_t, X_{t-s}|X_{t-1},X_{t-2},…,X_{t-(s-1)}) \\ &= \frac{\mathrm{Cov}(X_t, X_{t-s}|X_{t-1},X_{t-2},…,X_{t-(s-1)})}{\sqrt{\mathrm{V}[X_t|X_{t-1},X_{t-2},…,X_{t-(s-1)}]\mathrm{V}[X_{t-s}|X_{t-1},X_{t-2},…,X_{t-(s-1)}]}}\\ \end{align} \]
定常性
もし,\(X_t\)の平均が, \[ \mathrm{E}[X_t] = \mu \\ \] と時刻に依らないならば,そ時系列は定常性があるといい, 定常過程,定常時系列という. 更に, \[ \mathrm{V}[X_t] = \mathrm{V}[X_{t-s}] = \sigma^2 \\ \mathrm{Cov}[X_t,X_{t-s}] = \gamma_{|s|} = \gamma(s) \\ \gamma(0) = \mathrm{V}[X_t] \\ \mathrm{Corr}(X_t, X_{t-s}) = \frac{\gamma(s)}{\sqrt{\mathrm{V}[X_t] \mathrm{V}[X_{t-s}]}} = \frac{\gamma(s)}{\gamma(0)} = \rho(s) \] を満たすならば,弱定常過程,弱定常時系列,という. \(X_t\)の確率密度関数を\(f_{X_t}(x_t)\)として,\(t\)から\(t+h\)までの, 同時確率密度関数が, \[ f_{\{X_t\}^{t+h}_{t}}(x_t,x_{t+1},…,x_{t+h})=f_{\{X_t\}^{t+s+h}_{t+s}}(x_{t+s},x_{t+s+1},…,x_{t+s+h}) \] と,同じ分布ならば,強定常過程,強定常時系列という.
ホワイトノイズ
弱定常過程で, \[ \mathrm{E}[W_t] = 0 \\ \mathrm{V}[W_t] = \sigma^2 \\ \mathrm{Cov}[W_t,W_{t-s}] = 0 \\ \] であるような,\(W_t\)をホワイトノイズ,白色雑音と言う.