一元配置乱塊法のモデル
何らかの理由で,時間的に繰り返しが制限がある中で,効果を効率的に確かめたい. 例えば,農作物の栽培で肥料の種類の効果を調べたいが,一年に一回しか取れない,個体の区別が難しいや, 陶器の試薬の効果を調べたいが,炉が一つしか無いなどである.
一元配置乱塊法
とある農作物を栽培したエリアを\(R_j, j \leq J\)とし,肥料の量を因子として\(A_i, i \leq I\)とする. 観測値は\(y_{ij}\)とする.
| ブロック | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R_1\) | \(R_2\) | \(\cdots\) | \(R_j\) | \(\cdots\) | \(R_J\) | ||
| 因子\(A\) | \(A_1\) | \(y_{11}\) | \(y_{12}\) | \(\cdots\) | \(y_{1j}\) | \(\cdots\) | \(y_{1J}\) |
| \(A_2\) | \(y_{21}\) | \(y_{22}\) | \(\cdots\) | \(y_{2j}\) | \(\cdots\) | \(y_{2J}\) | |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | ||||
| \(A_i\) | \(y_{i1}\) | \(y_{i2}\) | \(\cdots\) | \(y_{ij}\) | \(\cdots\) | \(y_{iJ}\) | |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | ||||
| \(A_{I}\) | \(y_{I 1}\) | \(y_{I 2}\) | \(\cdots\) | \(y_{I j}\) | \(\cdots\) | \(y_{I J}\) | |
構造モデルは \[ Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}, E_{ij} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \\ \sum^{I}_{i=1} \alpha_i = 0 \\ \sum^{J}_{j=1} \rho_j = 0 \]
とする. もし,\(\sum^{I}_{i=1} \alpha_i = 0, \sum^{J}_{j=1} \rho_j = 0\)としない場合, \(\sum^{I}_{i=1} \alpha_i = \alpha, \sum^{J}_{j=1} \rho_j = \rho\)として, \[ \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} (\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}) = \mu + \alpha + \rho_j + \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} E_{ij} \\ \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1} (\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}) = \mu + \alpha_i + \rho + \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1} E_{ij} \\ \frac{1}{IJ} \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}) = \mu + \alpha + \rho + \frac{1}{IJ} \sum^{J}_{j=1} E_{ij}\\ \] となり,\(\mu,\alpha,\rho\)は分離できない.
\[ \bar{Y}_{i.} = \sum^{J}_{j=1} (\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}) = \mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.} \\ \bar{Y}_{.j} = \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} (\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}) = \mu + \rho_j + \bar{E}_{.j} \\ \bar{Y}_{..} = \frac{1}{IJ} \sum^{J}_{j=1} (\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij}) = \mu + \bar{E}_{..} \]
総平方和は \[ SS_T = \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{..})^2 \]
因子\(A\)の平方和は, \[ \begin{align} SS_A &= \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} (Y_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 \\ &= J\sum^{I}_{i=1} (\alpha_i + \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2 \end{align} \]
ブロック要因の平方和は, \[ \begin{align} SS_R &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{.j} - \bar{Y}_{..})^2 \\ &= I \sum^{J}_{j=1} (\rho_j + \bar{E}_{.j} - \bar{E}_{..})^2 \end{align} \]
誤差平方和は \[ \begin{align} SS_E &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..})^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \{\mu + \alpha_i + \rho_j + E_{ij} - (\mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.}) - (\mu + \rho_j + \bar{E}_{.j}) + (\mu + \bar{E}_{..})\}^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (E_{ij} - \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{.j} + \bar{E}_{..})^2 \end{align} \]
\[ \begin{align} SS_T &= \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} + \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{.j} - \bar{Y}_{..} + \bar{Y}_{..} - \bar{Y}_{..})^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} ((Y_{i.} - \bar{Y}_{..}) + (Y_{.j} - \bar{Y}_{..}) + (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..}))^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}\{(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 + (Y_{.j} - \bar{Y}_{..})^2 + (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..})^2 +2(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})(Y_{.j} - \bar{Y}_{..}) + 2 (Y_{.j} - \bar{Y}_{..})(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..}) + 2 (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..})(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})\}\\ &= \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 + \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}(Y_{.j} - \bar{Y}_{..})^2 + \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..}))^2 + \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}2(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})(Y_{.j} - \bar{Y}_{..}) + \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} 2 (Y_{.j} - \bar{Y}_{..})(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..}) + \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}2(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..})(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})\\ &= J \sum^{I}_{i=1}(Y_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 + I\sum^{J}_{j=1}(Y_{.j} - \bar{Y}_{..})^2 + \sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1}(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{.j} + \bar{Y}_{..}))^2 \\ &= SS_A + SS_R + SS_E \end{align} \] と,総平方和は分解できる.
\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_A] &= \mathrm{E}[J\sum^{I}_{i=1} (\alpha_i + \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \mathrm{E}[(\alpha_i + \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \mathrm{E}[(\alpha_i^2 + 2\alpha_i(\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..}) + (\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + J\sum^{I}_{i=1} 2\alpha_i \mathrm{E}[(\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})] + J\sum^{I}_{i=1} \mathrm{E}[(\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + J\sum^{I}_{i=1} \mathrm{E}[(\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + J\sum^{I}_{i=1} \mathrm{V}[\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..}] \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + J\sum^{I}_{i=1} \{\mathrm{V}[\bar{E}_{i.}] -2\mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \bar{E}_{..}) + \mathrm{V}[\bar{E}_{..}] \}\\ \end{align} \]
\[ \begin{align} \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \bar{E}_{..}) &= \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \frac{1}{I}\sum^{I}_{k=1}\bar{E}_{k.}) \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{k=1} \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \bar{E}_{k.}) \\ &= \frac{1}{I} \mathrm{V}[\bar{E}_{i.}] \\ &= \frac{\sigma^2}{IJ} \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_A] &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + J\sum^{I}_{i=1} (\frac{\sigma^2}{J} - 2 \frac{\sigma^2}{IJ} + \frac{\sigma^2}{IJ}) \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + (I-1)\sigma^2 \end{align} \]
\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_R] &= \mathrm{E}[I \sum^{J}_{j=1} (\rho_j + \bar{E}_{.j} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= I \sum^{J}_{j=1} \rho_j^2 + I \sum^{J}_{j=1}\mathrm{E}[(\bar{E}_{.j} - \bar{E}_{..})^2] \\ &= I \sum^{J}_{j=1} \rho_j^2 + I \sum^{J}_{j=1}\mathrm{V}[\bar{E}_{.j} - \bar{E}_{..}] \\ &= I \sum^{J}_{j=1} \rho_j^2 + I \sum^{J}_{j=1}\{\mathrm{V}[\bar{E}_{.j}] - 2\mathrm{Cov}(\bar{E}_{.j},\bar{E}_{..}) + \mathrm{V}[\bar{E}_{..}]\} \\ &= I \sum^{J}_{j=1} \rho_j^2 + I \sum^{J}_{j=1}(\frac{\sigma^2}{I} + \frac{\sigma^2}{IJ} - \frac{2\sigma^2}{IJ}) \\ &= I \sum^{J}_{j=1} \rho_j^2 + (J-1)\sigma^2 \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_E] &= \mathrm{E}[\sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (E_{ij} - \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{.j} + \bar{E}_{..})^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \mathrm{V}[E_{ij} - \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{.j} + \bar{E}_{..}]\\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \{ \mathrm{V}[E_{ij}] + \mathrm{V}[\bar{E}_{i.}] + \mathrm{V}[\bar{E}_{.j}] + \mathrm{V}[\bar{E}_{..}] - 2\mathrm{Cov}(E_{ij}, \bar{E}_{i.}) - 2 \mathrm{Cov}(E_{ij}, \bar{E}_{.j}) + 2 \mathrm{Cov}(E_{ij}, \bar{E}_{..}) + 2 \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \bar{E}_{.j}) - 2 \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \bar{E}_{..}) - 2 \mathrm{Cov}(\bar{E}_{.j}, \bar{E}_{..}) \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ( \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{J} + \frac{\sigma^2}{I} + \frac{\sigma^2}{IJ} - 2\frac{\sigma^2}{J} - 2 \frac{\sigma^2}{I} + 2 \frac{\sigma^2}{IJ} + 2 \frac{\sigma^2}{IJ} - 2 \frac{\sigma^2}{IJ} - 2 \frac{\sigma^2}{IJ}) \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ( \sigma^2 - \frac{\sigma^2}{J} - \frac{\sigma^2}{I} + \frac{\sigma^2}{IJ}) \\ &= \sum^{I}_{i=1} ( J\sigma^2 - \sigma^2 - \frac{J\sigma^2}{I} + \frac{\sigma^2}{I}) \\ &= IJ\sigma^2 - I\sigma^2 - J\sigma^2 + \sigma^2 \\ &= (IJ - I - J + 1)\sigma^2 \\ &= (I(J -1) - (J - 1))\sigma^2 \\ &= (I-1)(J-1)\sigma^2 \\ \end{align} \] より, \(\frac{SS_E}{(I-1)(J-1)}\)が\(\sigma^2\)の不偏推定量.
\[ MS_E = \frac{SS_E}{(I-1)(J-1)} \] として, 平均誤差平方和とする.
各水準に効果があるかを確認するために,検定を行う.仮説は, \[ H_0:全てのiに対して\alpha_i=0 \; \mathrm{vs} \; H_1:いずれかのiに対して\alpha_i\not=0 \] \(H_0\)のとき, \[ \mathrm{E}[SS_A] = (I-1)\sigma^2 \] なので,検定統計量は, \[ MS_A = \frac{SS_A}{I-1} \\ \] として, \[ \frac{MS_A}{MS_E} \sim F_{I-1,(I-1)(J-1)} \]
また,ブロックが何らかの影響を与えているか確認するには, \[ H_0:全てのiに対して\rho_j=0 \; \mathrm{vs} \; H_1:いずれかのiに対して\rho_j\not=0 \] \(H_0\)のとき, \[ \mathrm{E}[SS_R] = (J-1)\sigma^2 \] なので, \[ MS_R = \frac{SS_R}{J-1} \\ \] として, \[ \frac{MS_R}{MS_E} \sim F_{J-1,(I-1)(J-1)} \] なので,検定統計量としてつかう. 分散分析表は,
| 変動因子 | 自由度 | 平方和 | 平均平方和 | F値 |
|---|---|---|---|---|
| 因子\(A\) | \(I-1\) | \(SS_A\) | \(MS_A=\frac{1}{I-1}SS_A\) | \(MS_A/MS_E\) |
| 因子\(R\) | \(J-1\) | \(SS_R\) | \(MS_R=\frac{1}{I-1}SS_R\) | \(MS_R/MS_E\) |
| 誤差\(E\) | \((I-1)(J-1)\) | \(SS_E\) | \(MS_E=\frac{1}{(I-1)(J-1)}SS_E\) | |
| 全体 | \(J-1\) | \(SS_T\) |
交互作用を考えてみる.
とある農作物を栽培したエリアを\(R_j, j \leq J\)とし,肥料の量を因子として\(A_i, i \leq I\)として,もしかしたら,エリアと肥料が交互に作用しているかもしれない.
その時のモデルを考える.
交互作用の因子を\((A \times R)_{ij}\)と表現する. 構造モデルは,
\[ Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \rho_j + (\alpha\rho)_{ij} + E_{ij}, E_{ij} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \\ \sum^{I}_{i=1} \alpha_i = 0 \\ \sum^{J}_{j=1} \rho_j = 0 \\ \sum^{I}_{i=1} (\alpha\rho)_{ij} = \sum^{J}_{j=1} (\alpha\rho)_{ij} = 0 \]
各平方和は, \[ SS_T = \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{..})^2 \]
\[ \begin{align} SS_A &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 \\ &= J \sum^{I}_{i=1} (\alpha_i + \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2 \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} SS_R &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{.j} - \bar{Y}_{..})^2 \\ &= I \sum^{J}_{j=1} (\rho_j + \bar{E}_{.j} - \bar{E}_{..})^2 \end{align} \]
\[ \begin{align} SS_{A \times R} &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{j.} + \bar{Y}_{..})^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ( \mu + \alpha_i + \rho_j + (\alpha\rho)_{ij} + E_{ij} - (\mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.}) - (\mu + \rho_j + \bar{E}_{.j}) + (\mu + \bar{E}_{..}))^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ( (\alpha\rho)_{ij} + E_{ij} - \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{.j} + \bar{E}_{..} )^2 \end{align} \]
\[ \begin{align} SS_E &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{j.} + \bar{Y}_{..})^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ( \mu + \alpha_i + \rho_j + (\alpha\rho)_{ij} + E_{ij} - (\mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.}) - (\mu + \rho_j + \bar{E}_{.j}) + (\mu + \bar{E}_{..}))^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ( (\alpha\rho)_{ij} + E_{ij} - \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{.j} + \bar{E}_{..} )^2 \end{align} \] となり,一元配置乱塊法ではブロックと因子の交互作用は実験誤差と分離ができない.