数理統計学ノート

一元配置のモデル

因子が1つのモデルを一元配置という.因子の水準に対し,一つ,一つ個別に値を取る.もしくは,とある条件にて繰り返しをまとめる.のモデルがある.

一元配置

とある陶器の焼結で,とある釉薬の量を変化させて,発色に変化をみる.その因子を\(A\)として,釉薬の量に対して\(A_i, i \leq I\)とラベルをつける.

上図のようにデータがまとめられたとする.
各因子の水準が同じデータの母平均を\(\mu_{A_i}\)として,観測値\(y_{ij}\)は以下の様な確率変数のモデルの実現値とする. \[ Y_{ij} = \mu_{A_i} + E_{ij} \; \mu_{A_i} = \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.}], \bar{Y}_{i.}=\frac{1}{J}\sum^J_{j=1}Y_{ij}, E_{ij} \mathrm{.i.i.d} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \] \(E_{ij}\)は観測誤差,実験誤差である.\(Y_{ij} \sim \mathcal{N}(\mu_{A_i}, \sigma^2)\). もし,要因の水準\(A_i\)に効果があるとすれば,全データの平均を\(\mu\)とすると, \[ \alpha_i = \mu_{A_i}-\mu, \; \mu = \mathrm{E}[\bar{Y}_{..}], \bar{Y}_{..} = \frac{1}{IJ}\sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} Y_{ij} \] としたときに,いずれかの\(i\)に対して\(\alpha_i \not= 0\)である. 改めて, \[ Y_{ij} = \mu + \alpha_i + E_{ij} \]

\[ \sum^{N_{A}}_{i=1}\alpha_i = \sum^{N_{A}}_{i=1} \mu_{A_i} - N_{A} \mu \\ \mu = \frac{1}{N_{A}}\Bigr\{\sum^{N_{A}}_{i=1} \mu_{A_i} - \sum^{N_{A}}_{i=1}\alpha_i \Bigl\} \] ここで, \[ \mu = \mathrm{E}\Bigr[\frac{1}{IJ}\sum^{I}_{i=1}\sum^{J}_{j=1} Y_{ij}\Bigl] = \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1}\mathrm{E}\Bigr[\frac{1}{J}\sum_{j=1} Y_{ij} \Bigl] = \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \mu_{A_i} \] なので, \[ \sum^{N_{A}}_{i=1}\alpha_i = 0 \] となる. 各水準に効果があるかを確認するために,検定を行う.仮説は, \[ H_0:全てのiに対して\alpha_i=0 \; \mathrm{vs} \; H_1:いずれかのiに対して\alpha_i\not=0 \]

帰無仮説が正しいなら,実験誤差と因子の水準でのばらつきは区別がつかない.\({\sigma_{A_i}}^2/\sigma^2 = 1\)である. ということで,実験誤差の分散と因子の水準の分散を比較する. \[ \begin{align} \bar{Y}_{i.} &= \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1} Y_{ij} \\ &= \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1} \Bigl\{ \mu + \alpha_i + E_{ij} \Bigr\} \\ &= \mu + \alpha_i + \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1} E_{ij} \\ &= \mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.} \sim \mathcal{N}\Bigr(\mu_{A_i}, \frac{\sigma^2}{J}\Bigl) = \mathcal{N}\Bigr(\mu+\alpha_i, \frac{\sigma^2}{J}\Bigl) \\ \bar{Y}_{..} &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1} Y_{ij} \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \bar{Y}_{i.} \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \Bigl\{\mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.}\Bigr\} \\ &= \mu + \frac{1}{I J} \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1}E_{ij} \\ &= \mu + \bar{E}_{..} \sim \mathcal{N}\Bigr(\mu, \frac{\sigma^2}{N_{A}J}\Bigl) \end{align} \]

つまり, \[ \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}] = \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.}] - \mathrm{E}[\bar{Y}_{..}] = \alpha_i \\ \mathrm{V}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}] = \mathrm{V}[\bar{Y}_{i.}] + \mathrm{V}[\bar{Y}_{..}] - 2\mathrm{Cov}(\bar{Y}_{i.},\bar{Y}_{..}) \\ \begin{align} \mathrm{Cov}(\bar{Y}_{i.},\bar{Y}_{..}) &= \mathrm{Cov}(\bar{Y}_{i.},\frac{1}{I} \sum^{I}_{k=1}\bar{Y}_{k.}) \\ &= \frac{1}{I}\mathrm{E}[(\bar{Y}_{i.} - \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.}])(\sum^{I}_{k=1}\bar{Y}_{k.} - \mathrm{E}[\sum^{I}_{k=1}\bar{Y}_{k.}]) \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{k=1} \mathrm{E}[(\bar{Y}_{i.} - \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.}])(\bar{Y}_{k.} - \mathrm{E}[\bar{Y}_{k.}])] \\ &= \frac{1}{I} \mathrm{V}[\bar{Y}_{i.}] \\ &= \frac{1}{I} \frac{1}{J} \sigma^2 \end{align} \\ \mathrm{V}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}] = \frac{\sigma^2}{J} + \frac{\sigma^2}{I J} - 2 \frac{\sigma^2}{I J} = \frac{1}{J}(1-\frac{1}{I})\sigma^2 \] なので,\(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}\)が\(\alpha_i\)の推定量.

\[ \begin{align} Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} &= \mu + \alpha_i + E_{ij} - (\mu + \alpha_i + \frac{1}{J} \sum^{J}_{j=1}E_{ij}) \\ &= E_{ij} - \frac{1}{J}\sum^{J}_{j=1}E_{ij} \\ &= E_{ij} - \bar{E}_{i.} \end{align} \\ \]

\[ \mathrm{E}[Y_{ij} - \bar{Y}_{i.}] = 0 \\ \begin{align} \mathrm{V}[Y_{ij} - \bar{Y}_{i.}] &= \mathrm{V}[E_{ij} - \frac{1}{J}\sum^{J}_{j=1}E_{ij}] \\ &= \mathrm{V}[E_{ij}] + \mathrm{V}[\frac{1}{J}\sum^{J}_{j=1}E_{ij}] - 2\mathrm{Cov}(E_{ij},\frac{1}{J}\sum^{J}_{j=1}E_{ij}) \\ &= \sigma^2 + \frac{1}{J}\sigma^2 - 2 \mathrm{E}[(E_{ij} - \mathrm{E}[E_{ij}])(\frac{1}{J}\sum^{J}_{j=1}E_{ij} - \mathrm{E}[\frac{1}{J}\sum^{J}_{j=1}E_{ij}])] \\ &= (1 + \frac{1}{J})\sigma^2 - 2 \frac{1}{J} \sum^{J}_{k=1} \mathrm{E}[(E_{ij} - \mathrm{E}[E_{ij}])(E_{ik} - \mathrm{E}[E_{ik}])] \\ &= (1 + \frac{1}{J})\sigma^2 - 2 \frac{1}{J} \sigma^2 \\ &= (1 - \frac{1}{J})\sigma^2 \end{align} \]

\(\alpha_i\)のばらつきを調べたいので,\(\mu_{A_i}\)と\(\mu\)の距離を得たい. \[ \begin{align} SS_A &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 \\ &= J\sum^{I}_{i=1}(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..})^2 \end{align} \]

\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_A] &= \mathrm{E}[(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..})^2] \\ &=J\sum^{I}_{i=1}\mathrm{E}[(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..})^2] \\ &=J\sum^{I}_{i=1}\mathrm{E}[(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..} - \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}] + \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}])^2] \\ &=J\sum^{I}_{i=1}\mathrm{E}[(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..} - \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}])^2 + 2\alpha_i (\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..} - \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}]) + \alpha_i^2] \\ &=J\sum^{I}_{i=1} \Bigl\{ \mathrm{V}[\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..}] + \alpha_i^2 \Bigr\} \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + J\sum^{I}_{i=1} \frac{1}{J}(1-\frac{1}{N_{A}})\sigma^2 \\ &= J\sum^{I}_{i=1} \alpha_i^2 + (N_{A}-1)\sigma^2 \end{align} \]

で,実験誤差は, \[ SS_E = \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})^2 \\ \begin{align} \mathrm{E}[SS_E] &= \mathrm{E}[\sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \mathrm{E}[(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \mathrm{E}[(E_{ij} - \bar{E}_{i.})^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \mathrm{E}[(E_{ij} - \bar{E}_{i.}) - \mathrm{E}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}] + \mathrm{E}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}] )^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \mathrm{E}[((E_{ij} - \bar{E}_{i.}) - \mathrm{E}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}])^2 + 2 ((E_{ij} - \bar{E}_{i.}) - \mathrm{E}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}]) \mathrm{E}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}] + \mathrm{E}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}]^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} \mathrm{V}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (1 - \frac{1}{J})\sigma^2 \\ &= I(J-1)\sigma^2 \end{align} \]

から,\(H_0\)のときは,\(\sigma^2\)の不偏推定量は,\(MS_A = \frac{SS_A}{I-1}\)と\(MS_E = \frac{SS_E}{I(J-1)}\),\(MS_{\cdot}\)を平均平方和という. \[ \frac{(I(J-1))MS_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{I(J-1)} \\ \frac{(I-1)MS_A}{\sigma^2} \sim \chi^2_{I-1} \]

\[ \frac{(\frac{(I-1)MS_A}{\sigma^2})/(I-1)}{(\frac{(I(J-1))MS_E}{\sigma^2})/(I(J-1))} = \frac{MS_A}{MS_E} = \frac{SS_A/(I-1)}{SS_E/I(J-1)} \sim F_{I-1, I(J-1)} \]

もし,\(H_1\)であるときは,この\(F\)分布よりは外れているはずである.

\[ SS_T = \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{..})^2 \] として,\(SS_T\)を総平方和という. \[ \begin{align} SS_T &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} + \bar{Y}_{i.} - Y_{..})^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} ((Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})^2 + 2(Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})(\bar{Y}_{i.} - Y_{..}) + (\bar{Y}_{i.} - Y_{..})^2) \\ &= SS_A + SS_E + 2 \sum^{I}_{i=1} \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})(\bar{Y}_{i.} - Y_{..}) \\ &= SS_A + SS_E + 2 \sum^{I}_{i=1} (\bar{Y}_{i.} - Y_{..}) \sum^{J}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.}) \\ &= SS_A + SS_E + 2 \sum^{I}_{i=1} (\bar{Y}_{i.} - Y_{..})(J \bar{Y}_{i.} - J \bar{Y}_{i.}) \\ &= SS_A + SS_E \end{align} \] である.

分散分析表

データの自由度,平方和をならべた表を分散分析表という.

母平均の推定

\(\mu_{A_i} = \mathrm{E}[\bar{Y}_{i.}]\)より,\(\bar{Y}_{i.}\)は\(\mu_{A_i}\)の不偏推定量.
\(\bar{Y}_{i.} \sim \mathcal{N}(\mu_{A_i}, \frac{\sigma^2}{J}) \)から, \[ \frac{\sqrt{J}(\bar{Y}_{i.} - \mu_{A_i})}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1) \]

\(\sigma^2\)が未知の場合,\(MS_E\)を利用する \[ \frac{\frac{\sqrt{J}(\bar{Y}_{i.} - \mu_{A_i})}{\sigma}}{\sqrt{\frac{\frac{(I(J-1))MS_E}{\sigma^2}}{I(J-1)}}} = \frac{\sqrt{J}(\bar{Y}_{i.} - \mu_{A_i})}{MS_E} \sim T_{I(J-1)} \] 上記が統計検定量. \(\mu_{A_i}\)の信頼係数\(1-100\alpha\%\)の信頼区間は両側の場合,\(P(T_{I(J-1)} > t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}) = P(T_{I(J-1)} < -t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}) = \frac{\alpha}{2}\)として, \[ \begin{align} P\Bigl(\frac{\sqrt{J}(\bar{Y}_{i.} - \mu_{A_i})}{MS_E} > t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}\Bigr) &= P\Bigl(\bar{Y}_{i.} - \mu_{A_i} > \frac{MS_E \cdot t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{J}} \Bigr) \\ &= P\Bigl(\bar{Y}_{i.} > \frac{MS_E \cdot t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{J}} + \mu_{A_i} \Bigr) \\ &= \frac{\alpha}{2} \end{align} \] もう片側も同様で,実際に得られたデータを当てはめると, \[ \bar{y}_{i.} - \frac{MS_E \cdot t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{J}} < \mu_{A_i} < \bar{y}_{i.} + \frac{MS_E \cdot t_{I(J-1),\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{J}} \] が母平均の信頼区間.

母平均の差の推測

\( H_0:全てのiに対して\alpha_i=0\)が棄却されるときに,\(i,j,i \not= j\)に対して,どの\(i,j\)が\(\mu_{A_i} \not= \mu_{A_j}\)であったか知りたいときは,\(\mu_{A_i} - \mu_{A_j}\)の推測を行う.
\(\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{j.} \sim \mathcal{N}(\mu_{A_i} - \mu_{A_j}, \frac{\sigma^2}{N_{A_i}} + \frac{\sigma^2}{N_{A_j}})\)なので, \[ \frac{\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{j.} - (\mu_{A_i} - \mu_{A_j})}{\sqrt{(\frac{1}{N_{A_i}} + \frac{1}{N_{A_j}})\sigma^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1) \]

\(\sigma^2\)の推定量として,\(MS_E \sim \chi^2_{I(J-1)}\)を使い, \[ \frac{\frac{\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{j.} - (\mu_{A_i} - \mu_{A_j})}{\sqrt{(\frac{1}{N_{A_i}} + \frac{1}{N_{A_j}})\sigma^2}}}{\sqrt{\frac{\frac{(I(J-1))MS_E}{\sigma^2}}{I(J-1)}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{N_{A_i}} + \frac{1}{N_{A_j}}}}\frac{\bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{j.} - (\mu_{A_i} - \mu_{A_j})}{\sqrt{MS_E}} \sim T_{I(J-1)} \]

一元配置で水準間の繰り返し回数が違う場合

一元配置で水準間の繰り返し回数が違う場合を考える. 水準\(A_i\)での繰り返し回数を\(J_i\)とする. 構造モデルは \[ Y_{ij} = \mu_{A_i} + E_{ij} = \mu + \alpha_i + E_{ij} \\ J = \sum^{I}_{i=1} J_i \\ \mu = \mathrm{E}[\bar{Y}_{..}] \\ \bar{Y}_{i.} = \frac{1}{J_i} \sum^{J_i}_{j=1} Y_{ij} \\ \bar{Y}_{..} = \frac{1}{J}\sum^{I}_{i=1}\sum^{J_i}_{j=1} Y_{ij} \\ \]

\(\mu = \mathrm{E}[\bar{Y}_{..}]\)としたので、 \[ \begin{align} \mu &= \mathrm{E}[\frac{1}{J}\sum^{I}_{i=1}\sum^{J_i}_{j=1} Y_{ij}] \\ &= \frac{1}{J}\sum^{I}_{i=1}\sum^{J_i}_{j=1} \mathrm{E}[Y_{ij}] \\ &= \frac{1}{J}\sum^{I}_{i=1}\sum^{J_i}_{j=1} \mu_{A_i} \\ &= \frac{1}{J}\sum^{I}_{i=1} J_i \mu_{A_i} \\ &= \frac{1}{J}\sum^{I}_{i=1} J_i (\mu+\alpha_i) \\ &= \frac{1}{J} \Bigl( \sum^{I}_{i=1} J_i\mu + \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i \Bigr) \\ &= \mu + \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i \\ \end{align} \] から, \[ \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i = 0 \] 総平方和\(SS_T\)は, \[ SS_T = \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( Y_{ij} - \bar{Y}_{..} )^2 \]

因子\(A\)の平方和は, \[ \begin{align} SS_A &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( \bar{Y}_{i.} - \bar{Y}_{..} )^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( \mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.} - (\mu + \bar{E}_{..}) )^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} (\alpha_i + \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2 \\ \end{align} \]

誤差の平方和は, \[ \begin{align} SS_E &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} )^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( \mu + \alpha_i + E_{ij} - (\mu + \alpha_i + \bar{E}_{i.}) )^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} (E_{ij} - \bar{E}_{i.})^2 \end{align} \]

\[ \begin{align} SS_T &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( Y_{ij} - \bar{Y}_{..} )^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} ( Y_{ij} - \bar{Y}_{i.} + \bar{Y}_{i.} -\bar{Y}_{..} )^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} \Bigl\{ (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})^2 - 2 (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})(\bar{Y}_{i.} -\bar{Y}_{..}) + (\bar{Y}_{i.} -\bar{Y}_{..} )^2 \Bigr\} \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i.})^2 + \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} (\bar{Y}_{i.} -\bar{Y}_{..} )^2 \\ &= SS_A + SS_E \end{align} \]

\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_A] &= \mathrm{E}\Bigr[ \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} (\alpha_i + \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2 \Bigl] \\ &= \mathrm{E}\Bigr[\sum^{I}_{i=1} J_i \Bigl\{\alpha_i^2 + 2\alpha_i(\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..}) + (\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2 \Bigl\} \Bigl] \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + \sum^{I}_{i=1} J_i \mathrm{E}\Bigr[ (\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..})^2 \Bigl] \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + \sum^{I}_{i=1} J_i \mathrm{V}\Bigr[ \bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..} \Bigl] \\ \end{align} \]

\[ \begin{align} \mathrm{V}[\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..}] &= \mathrm{V}[\bar{E}_{i.}] - 2\mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.},\bar{E}_{..}) + \mathrm{V}[\bar{E}_{..}] \\ \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.},\bar{E}_{..}) &= \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.},\frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \bar{E}_{i.}) \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \mathrm{Cov}(\bar{E}_{i.}, \bar{E}_{i.}) \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \mathrm{V}[\bar{E}_{i.}] \\ &= \frac{1}{I} \sum^{I}_{i=1} \frac{\sigma^2}{J_i}\\ \mathrm{V}[\bar{E}_{i.} - \bar{E}_{..}] &= \frac{\sigma^2}{J_i} - \frac{2}{I} \sum^{I}_{k=1} \frac{\sigma^2}{J_k} + \frac{\sigma^2}{J} \\ \mathrm{E}[SS_A] &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + \sum^{I}_{i=1} J_i \Bigr(\frac{\sigma^2}{J_i} - \frac{2}{I} \sum^{I}_{k=1} \frac{\sigma^2}{J_k} + \frac{\sigma^2}{J} \Bigl) \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + I\sigma^2 - \frac{2}{I} \sum^{I}_{i=1} J_i \sum^{I}_{k=1} \frac{\sigma^2}{J_k} + \sigma^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + I\sigma^2 - \frac{2}{I} \sum^{I}_{i=1} \sum^{I}_{k=1} \frac{J_i}{J_k} \sigma^2 + \sigma^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + I\sigma^2 - \frac{2}{I} \sum^{I}_{k=1} \frac{J}{J_k} \sigma^2 + \sigma^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + I\sigma^2 - 2\sigma^2 + \sigma^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} J_i \alpha_i^2 + (I-1)\sigma^2 \end{align} \]

\[ \begin{align} \mathrm{E}[SS_E] &= \mathrm{E}[(E_{ij} - \bar{E}_{i.})^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1}\mathrm{E}[(E_{ij} - \bar{E}_{i.})^2] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1}\mathrm{V}[E_{ij} - \bar{E}_{i.}] \\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1}\Bigl\{ \mathrm{V}[E_{ij}] - 2 \mathrm{Cov}(E_{ij},\bar{E}_{i.}) + \mathrm{V}[\bar{E}_{i.}] \Bigr\}\\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1}\Bigl\{ \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{J_i} - 2 \mathrm{Cov}(E_{ij},\bar{E}_{i.}) \Bigr\}\\ \mathrm{Cov}(E_{ij},\bar{E}_{i.}) &= \mathrm{Cov}(E_{ij}, \bar{E}_{i.}) \\ &= \mathrm{Cov}(E_{ij}, \frac{1}{J_i} \sum^{J_i}_{k=1} E_{ik}) \\ &= \frac{1}{J_i} \sum^{J_i}_{k=1} \mathrm{Cov}(E_{ij}, E_{ik}) \\ &= \frac{1}{J_i} \mathrm{V}[E_{ij}] \\ &= \frac{1}{J_i} \sigma^2 \\ \mathrm{E}[SS_E] &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1}\Bigl\{ \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{J_i} - \frac{2}{J_i} \sigma^2 \Bigr\}\\ &= \sum^{I}_{i=1} \sum^{J_i}_{j=1} \Bigl(1 - \frac{1}{J_i}\Bigr)\sigma^2 \\ &= \sum^{I}_{i=1} (J_i - 1)\sigma^2 \\ &= ( J - I)\sigma^2 \\ \end{align} \]

仮説は, \[ H_0:全てのiに対して\alpha_i=0 \; \mathrm{vs} \; H_1:いずれかのiに対して\alpha_i\not=0 \] \(H_0\)のとき, \[ MS_A = \frac{1}{I-1} SS_A, MS_E = \frac{1}{J-I} SS_E, \] としたら,それぞれは\(\sigma^2\)の不偏推定量. \[ \frac{(I-1)MS_A}{\sigma^2} \sim \chi^2_{I-1} \\ \frac{(J-I)MS_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{J-I} \\ \] なので, \[ \frac{MS_A}{MS_E} \sim F_{I-1,J-I} \] が検定統計量となる,分散分析表は,