特徴を表す量
いま,ある個体について,\(k\)種類（項目)の値が得られるとする.個体が\(n\)体として各データの組を \[ x_{i,j} \; i,j,n,k \in \mathbb{N}^+, i < n, j < k \] として,個体\(i\)の\(k\)番目のデータとする.
\[ \boldsymbol{x}_{i} = \begin{pmatrix} x_{i,1} \\ x_{i,2} \\ \vdots \\ x_{i,k} \end{pmatrix} \]
\[
\mathbf{X} = (x_{i,j}) = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{x}_{1}^{\mathsf{T}} \\
\boldsymbol{x}_{2}^{\mathsf{T}} \\
\vdots \\
\boldsymbol{x}_{n}^{\mathsf{T}}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,k} \\
x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,k} \\
\end{pmatrix}
\]
と,まとめて表せるように定義する.
個体\(i\)の標本平均を
\[
\bar{x}_{i,.} = \frac{1}{k}\sum^{k}_{j=1} x_{i,j}
\]
種類\(j\)の標本平均を
\[
\bar{x}_{.,j} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} x_{i,j}
\]
と表す.
\(l,m \in \mathbb{N}^+ ; l,m \leq k \)として,観測値間に関係があるかを調べるには,標本の分散,共分散を取ればいい.
\[
s_{l,l} = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} (x_{i,l}-\bar{x}_{.,l})^2 \\
s_{l,m} = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} (x_{i,l}-\bar{x}_{.,l})(x_{i,m}-\bar{x}_{.,m})
\]
これを,標本分散,標本共分散という.\(s_{l,l}={s_{l}}^2\)とも書く
\[
\mathbf{S} = (s_{l,m}) = \begin{pmatrix}
s_{1,1} & s_{1,2} & \cdots & s_{1,k} \\
s_{2,1} & s_{2,2} & \cdots & s_{2,k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
s_{k,1} & s_{k,2} & \cdots & s_{k,k}
\end{pmatrix}
\]
として\(\mathbf{S}\)を標本共分散行列という.
\[
r_{l,m} = \frac{s_{l,m}}{\sqrt{s_{l,l}}\sqrt{s_{m,m}}}
\]
として,標本相関係数という.\(r_{l,l}=\frac{s_{l,l}}{\sqrt{s_{l,l}}\sqrt{s_{l,l}}}=1\)である.
\[
\mathbf{R} = (r_{l,m}) = \begin{pmatrix}
1 & r_{1,2} & \cdots & r_{1,k} \\
r_{2,1} & 1 & \cdots & r_{2,k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
r_{k,1} & r_{k,2} & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\]
として\(\mathbf{R}\)を標本相関係数行列という.